Polinomios (Subtítulos)

hola soy el vice y hoy vamos a ver polinomios lo primero que tenemos que saber son las partes que tiene un polinomio vale un polinomio es un conjunto de números y letras que las vamos a llamar a esos números que lo que hemos rodeado en azul van a ser las constantes las letras que normalmente son equis que están rodeadas en rojo les denominamos variables y hay que tener en cuenta que el conjunto de la constante y la variable se le denomina término cada término del polinomio tiene un exponente su variable vale de aquí pasamos al grado es exponente que vemos en cada término nos determina el grado del polinomio porque el grado del polinomio va a ser el exponente más alto que tengamos por ejemplo en 3x cuadrado más 2 x menos 3 el exponente más alto es 2 por lo tanto el grado de este polinomio será 2 una vez conocemos así un poquito como es un polinomio vamos a pasar a la suma y la resta de polinomios ponemos aquí un ejemplo 3x cuadrados más 2 x menos 3 más o menos porque en realidad la somera resta es igual 2 x cuadrado menos 3 x lo que haremos es sumar o restar el término que tenga el mismo grado en este polinomio con el de este por ejemplo el de grado 2 con el de grado 2 queremos subrayado en rojo y el de grado 1 con el de cada uno en el caso de 3x o sea c 3 perdón no tenemos correspondencia en el otro polinomio por lo tanto lo dejaremos tal cual por eso haremos 3x cuadrado más menos 2 x cuadrado más 2 x + menos 6 x menos 3 este le dejamos tal cual y eso sería una si estamos sumando dejamos sobre el más estamos restantes son el menos pero esto sería como se hace una suma o resta de polinomios vamos a complicar un poquito más vamos a pasar al producto en el producto de polinomios lo que ocurre es que todos los términos se multiplican entre sí lo que tenemos es por ejemplo el polinomio de x que es un polinomio es 2x cuadrados 3x y el polinomio de x que es 3 x 2 x vamos a multiplicar los en 3 y lo que haremos será multiplicar cada término es decir 2 x cuadrado se multiplicará con 3 x cubo y también se multiplicará con 2 x es decir tóxicos cuadrado por 3 x cubo y 2 x cuadrados por 2 x ahora el siguiente término 3x lo multiplicaremos también por los dos términos del otro polinomio 3x por 3 x 3 x x 2 x así habremos multiplicado todos los términos de cada polinomio entre sí y el resultado será hacer una multiplicación de términos hay que tener en cuenta que al multiplicar las variables lo que estamos haciendo es una multiplicación de potencias acordaros con se multiplican y si no ver el vídeo de operaciones combinadas con potencias que tenemos subido lo que hacemos es mantenemos la base porque es una potencia con la misma base diferente exponente mantenemos la base y sumamos los exponentes en este caso mantenemos xy sumamos 2 + 35 mientras que con las constantes simplemente se produce una multiplicación dos por tres vamos a ver el siguiente para asegurarnos 2x cuadrados más 2x serían 2 por 2 4 y x cuadrado por x sería mantener la base x y sumar los exponentes 2 + 13 vale esto serían lo que es la el concede un producto de polinomios a continuación pasamos al cociente en el cociente vamos a hacer pd x que es 2x cuadrados más 3 x entre wu de x es x menos 1 lo que hacemos es tenemos que buscar un término es decir una constante junto con una variable y que x x nos de 2x cuadrado este es el caso de 2 x 2 x x x es 2 x cuadrado que es el término que buscamos entonces lo que hacemos a continuación es primero nos seguís por menos 1 que nos da menos 2 x menos 2 x lo colocamos debajo de 3x el siguiente término 2x por x es 2x cuadrado y lo ponemos debajo de el término que lleva el grado 2 porque es cuadrado con cuadrado lo que haremos a continuación es una resta de los términos que hemos puesto ahora menos los anteriores lo que decimos es 2x cuadrado menos 2x cuadrados se nos va a servir a 0 y 3 x menos menos 2x es como 3 x + 2 x y nos queda 5 x vale 5 x sigue siendo divisible / x menos 1 porque tienen el mismo grado acordaros que podéis dividir siempre que tengamos el mismo grado del polinomio a continuación lo que hacemos es que tenemos que encontrar un término que es x x 5x y 5 565 bueno pues vamos a pasar 5 porque no es una menos 5 y lo ponemos aquí aunque nosotros no tenemos términos sin variable en la división nos va a salir y lo tenemos que poner menos 5x por 5 por donde sea menos 5 perdón por 5 por x 5 x hacemos lo mismo que antes una revista de el término que teníamos antes menos los que hemos generado y es 5 x 5 x 0 y como no tenemos ningún término sin variable lo que hacemos es cero menos menos 5 x menos y menos más por lo tanto más 5 vale ya era un llegado al final de la del cociente porque 5 no puede dividirse entre x tienen un grado diferente vale y 5 es menor que el de x por eso no podemos dividir entonces vamos a definirla datos que nos han salido 275 sería el cociente que lo denominamos como ce de x2 x + 5 mientras que más 5 sería el resto de la división y lo definimos como el lx resto es igual a 5 en 6 como haríamos un cociente de polinomios ahora haremos una serie de ejemplos en los que vamos a ensayar un poquito todo esto a continuación vamos a pasar a la regla de intermón ruffin con un fin y podemos hacer varias cositas entre ellas se encuentra factorizar factorizar un polinomio factorizar un polinomio es sacar sus factores y recordar que el número de factores que va a tener el polinomio es igual a su grado en este polígono que hemos puesto aquí 3 x + 2 x 2 x 2 tenemos que el exponente mayor estrés por lo tanto ese es el grado de nuestro polinomio y ese será el número de factores que tendrán nuestro polinomio vale lo veremos para aplicar la regla de ruffin y es primero ponemos las constantes del polinomio acordaros que las constantes serán los números que van delante de las variables la constante de x cubo es uno que no lo vemos pero cuando no tenemos ningún número delante como si fueran 11 la constante de 2x cuadrado es 2 la constante de menos x es menos 1 y la constante de menos 2 es menos 2 vale a continuación tenemos que buscar un número que al multiplicar por cada uno de ellos el último término nos lo anula es decir lo que hacemos es buscamos un número que nos pueda anular el último término en este caso hemos seleccionado menos dos y decimos la primera constante la bajamos sin hacerla nada 1 1 sin hacer nada a continuación menos 2 lo multiplicamos por 1 y lo ponemos debajo del siguiente de la siguiente constante menos dos por uno menos dos y lo ponemos debajo y a continuación lo que hacemos es una suma vale aquí se están sumando 2 - 20 hacemos lo mismo que antes menos 2 por 0 0 y lo ponemos debajo de la siguiente constante 0 y volvemos a sumar menos 10 menos 1 y seguimos multiplicando menos 2 x menos 12 menos por menos es más y 2 por unas 22 menos dos más dos como si hiciéramos dos menos dos pero hemos saludado el último técnico esto es porque yo ya lo tengo preparado de cuál es la cuál es el número cardinal - 2 pero hay ocasiones en las que tienes que ir probando hasta encontrarlo yo podría haber elegido el 1 y me saldría aquí un menú diferente de 0 pues tendría que ir probando con el menos 1 con el 2 2 con el menos 2 hasta llegar al que al que no anula el último término vale ahora nos hemos quitado este término ya no lo tenemos y lo siguiente que hacemos es trabajar igual que antes pero ahora en vez de tener cuatro términos tenemos sólo tres vale lo que hacemos es probamos igual que el número nos puede anular el último término que tenemos y yo he puesto el 1 al igual que antes el primer número se baja tal cual no lo hacemos nadie lo hicimos 1 por 1 1 y lo ponemos debajo del otro término hacemos la suma 0 1 1 y seguimos el mismo proceso 1 por 1 1 y lo ponemos debajo del siguiente término menos 110 nos le anula también pues también le consideramos que es factor siguiente tenemos que anular uno como este trabajamos tal cual y sabemos que nuestro nuestro número va a ser menos 1 bajamos el número tal cual menos uno por uno menos 11 menos 10 ya hemos llegado al final de la aplicación de la regla de ruffin y ahora cuáles serán nuestros factores madre nuestros factores serán menos 21 y menos 1 factores que también se pueden denominar soluciones de un polinomio entonces lo que hacemos para factorizar el polinomio será cambiarles el signo a estos factores cambiarles el signo y ponerlos junto con x como vemos aquí el primer factor como es menos dos será x + 2 le hemos cambiado el signo el segundo que será 1 se multiplica por el anterior y será x menos 1 le hemos cambiado el signo y el último que es menos 1 será igual cambiando de signo más 1 x más 1 se tienen que poner de este modo y esto es a lo que se le llama factorizar un polinomio con rufino lo que también podemos hacer es dividirnos a hacer un cociente vamos a hacer el mismo cociente que hemos hecho antes en la explicación de la división normal lo vamos a hacer con rufino vale lo que hacemos es al igual que factorizar lo ponemos los las constantes del polinomio tener en cuenta que tenemos que poner todas es decir aquí solamente tenemos el término de grado 2 el término de grado 1 pero el término que no lleva x no le tenemos pero para poder finalizar el polinomio digamos se tiene que poner entonces en ruffini tendremos que poner 2 y 0 porque no lo tenemos y 0 ponemos 23 y 0 como lo que tenemos dividir entre 1 entre x menos 1 al igual que antes x menos 1 aquí era 1 pues ahora igual queremos dividir entre x menos uno para poder dividir le cambiamos el signo y lo bueno salir como antes bajamos tal cual nuestro primer término y decimos 1 por 2 2 y lo ponemos debajo del 3 que es el siguiente terminó 2 + 3 6 5 pues tal cual lo ponemos debajo y ahora decimos 1 por 55 lo ponemos debajo del siguiente y 0 55 en este caso days no hemos hecho 0 ya pero es que no estamos buscando factores lo que estamos haciendo es dividir el polinomio y entonces no nos tienen por qué dar 0 porque las divisiones pueden tener resto y este 5 es el resto de nuestra división por lo tanto el cociente el cociente de la división será lo que nos queda al aplicando fin que como antes ésta era x cuadrado y estará x ahora esto pasa a ser xy éste el término sin variable y esto que nos sobra y es el resto o sea que el cociente se da dos x más 5 mientras que el resto será 5 igual que veíamos antes en la división normal nuestro reciente 2 x 5 y el resto eran 5 a continuación habiendo explicado ya un poquito cómo podemos manejar un polinomio con sumar de estas cocientes aplicando ruffini vamos a hacer una serie de ejemplos para que esto se consolide un poquito más y a continuación lo que tenemos es esta este producto de polinomios acordaros que tenemos que multiplicar todos por todos cada término por cada uno de ellos entonces vamos a el primer término del primer polinomio y lo multiplicamos por todos los términos del siguiente es decir diremos 3x cuadrado por 3x a la cuarta más 3x cuadrados por 5 x al cuadrado más 3 cuadrados por menos 3 a continuación lo que hacemos es multiplicar el segundo término por todos los del siguiente y diremos continuamos aquí más 5x por 3x a la cuarta 5x por 3x a la cuarta más 5x por 5x guardado 5x por 5x cuadrado + 5 x x menos 35 x x menos 3 ahora pasamos a hacer todos todos los productos 3 vamos a seguir aquí para que nos quede todo 3x cuadrado por 3 y sea la cuarta acordaros multiplicamos constantes y por un lado y variables por otro 3 por 3 9 x al cuadrado por x a la cuarta mantenemos la base porque es un producto de potencias y sumándonos exponente de 246 más 3 por 5 15 y x cuadrado por x cuadrado x a la cuarta más tres por menos 3 menos 9 y como no tenemos variable x cuadrado menos 9 x x cuadrado seguimos con los de 5 x x x a la cuarta igual 5 x 3 15 y x x x a la cuarta es 41 x a la clínica más 5 x 5 25 y x x x cuadrado es x al cubo por último 5x por menos 3 como no tiene variable light y se queda igual y 5 por menos 3 menos 15 menos 15 x ahora lo que tenemos que hacer es ver si hay algún término que tenga el mismo grado como en este caso no tenemos ningún término que tenga el mismo grado lo que hacemos es ordenarlos es decir poner los de mayor a menor simplemente porque es más visual lo que haremos es poner primero 9 x a la sexta que es el mayor luego 15 x a la quinta después tenemos 15 x a la cuarta 25 x al cubo - 9 x al cuadrado y por último menos gente y este sería el polinomio resultado del producto de los dos polinomios anteriores la siguiente operación es un cociente de polinomios es muy importante ver cómo es el viviendo del cociente porque en el caso de que tenga alguna constante nos va a ser muy complicado hacer otra división entonces lo mejor es dividir a los polinomios entre el mismo número para poder dejar a este término con la constante 1 es decir en este caso dividiremos a ambos polinomios entre 2 acordaros que cuando dividimos un polinomio entre un número cualquiera dividimos a todas las constantes es decir primero decimos 2 entre 42 x al menos 6 entre 2 3 x cuadrado menos 10 entre 25 x menos 10 entre 210 y el dividendo entre dos serían 2x cuadrado entre 2 el x cuadrado 4x entre 2 menos 2x y 6 entre 2 - 3 de esta manera es mucho más sencillo porque el término que tenemos que multiplicar al x cuadrado para que nos dé el x cubo no tenemos que andar buscando un número por decimales una fracción sino que simplemente tenemos que usar la constante que tendremos es decir vamos a empezar con la división tenemos que buscar un término que x x cuadrado nos de 2x pues será 2x porque 2x por equis cuadrados 2 x 2 x lo primero que tenemos que hacer es multiplicado por el último término de nuestro dividendo 2x por menos 3 menos 6 x menos 6 x si lo ponemos debajo del término que tiene ese mismo grado menos 6x 2x x menos 2 x 4 x cuadrado acordaros misma base 112 - 4x cuadrado lo ponemos debajo del término que tiene el mismo grado metros 4x cuadrado y ahora 2 x x x cuadrado 2x cuba igual debajo del mismo grado hacemos es la resta de por lo tanto menos 5 x menos menos 6 es como menos 5 x 66 entonces lo que tenemos es una equis x - 3 x 2 menos 4 - 3 x cuadrados 4 cuadrado por lo tanto 36 + x y 2 x 2 x 2 a 0 y bajamos el siguiente término igual que en una división normal ahora lo que tenemos que buscar es un término que multiplicado por x este cual será uno el número uno no necesitamos multiplicar por ninguna variable porque el cuadro de davis cuadrados son iguales por lo tanto multiplicamos por 111 x menos tres menos tres y lo ponemos debajo del término que tiene su mismo grado 1 - 2 x 2 x debajo del mismo menos 2 x y uno por equis cuadrado x cuadrados igual debajo del mismo grado y ahora hacemos la resta acordaros que es una resta alguno de vosotros al hacerlo le va a ir cambiando el signo a estos términos pero es lo mismo que hacer una resta vale menos 10 - menos 3 es como menos 10 más 3 que será menos 7 x menos 2 x 2 3 el 2 que es más dos equis que es 3x y es cuadrado y visual que se nos va ahora no podemos seguir dividiendo porque el grado del polinomio más alto de aquí es más pequeñito que yo que el grado del polinomio más alto de dividendo por lo tanto hemos llegado al fin de la división y lo que tendremos será que esto es nuestro resto y esto es nuestro concello por lo tanto consciente acordaros que se pone como cdx conscientes de la división del cociente polinomio será 2 x 1 mientras que el resto será 3x menos 7 3x muy bueno el resto de mx es 3x menos 7 lo siguiente que vamos a hacer es sacar los factores de un polinomio por fin salga un factor de un binomio también es sacar la solución la solución de un polinomio recordables y aquí tuviéramos que esto es igual a cero y nos dijeran resuelve este polinomio tendríamos que aplicar un fin y esos números que sacamos con factores serían las soluciones pero en este caso lo que vamos a hacer es sacar los factores vale lo primero que tenemos que hacer es poner en la cajita de luceni las las constantes del polinomio tenemos que de x a la cuarta es uno de mis álbum es uno de x al cuadrado como no está hay que ponerlo en oeste y su variables a su constante será 0 de x será menos 1 órgano siempre que se pone el signo que lleva adelante y de el término independiente es también menos 1 ahora tenemos que buscar un número al multiplicarlo por cada uno de los términos y sumarlos los de al final menos uno vale lo que hacemos es probar con o con menos uno o con uno porque números superiores nos van a multiplicar por dos o por tres y no nos van a dar como resultado menos uno entonces probamos con uno bajamos el primer término 1 por 11 y hacemos la suma 2 1 por 2 2 20 - 21 22 - 12 que es como 2 - 1 1 y 1 por 112 110 hemos encontrado uno de los factores ahora vamos a buscar otro factor ahora el término que tenemos que hacer cero es espera aquí que es 1 por lo tanto probamos igual o menos 11 más y decimos vamos a probar con menos 1 1 - 1 - 1 2 - 1 sería 2 - 1 saque 2 - 1 1 - 1 por 1 - 1 e igual 2 - 1 211 2 - 1 por menos uno menos 1 - 10 ya tenemos otro factor vamos a intentar encontrar un factor para los términos que nos quedan lo que tenemos aquí es que tenemos que hacer 01 vale sí tenemos que hacer 0 el 1 buscaremos sombreros 1 o 1 vamos a probar con menos 1 - uno por uno menos 10 menos 1 000 por lo tanto éste no es factor tendremos que probar con el humo pero vamos mi hijo pero vamos a ver uno 1 11 122 tampoco los 0 en este caso estamos sospechando que probablemente no podemos tener más factores lo que hacemos para no seguir intentando factores vamos a ver qué términos nos quedan como nos hemos quitado el término cuarto y el término del cero es decir a la cuarta y al y al cubo lo que nos queda es x al cuadrado más x + 1 lo que vamos a hacer es aplicar las ecuaciones de segundo grado es decir la resolución de una ecuación de segundo grado para sacar factores y ver si podemos si realmente ese polinomio tiene más factores o ya no podemos sacar más vale para ello lo que haremos será acordaros de cómo se resuelve una ecuación de ese punto grado una ecuación de segundo grado es menos de acordar a esto esto es de y decimos menos -1 más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado al menos 4 por qué es uno por fe que es un partido de dos horas por eso lo que vemos aquí que ya nos llama la atención y que nos dice que no tenemos más factores 1 - 4 porque 4 por uno por uno es 41 menos 4 es menos 3 recordar que no existen las raíces de números negativos las raíces cuadradas de números negativos no existen por lo tanto esta colina unión no tiene resolución y entonces no se le pueden sacar más factores cuando nos ocurra esto los factores de nuestro polinomio principal van a ser acordaros que ponemos equis y luego el factor que hayamos sacado por un número con el signo contrario entonces serían x menos 1 x en este caso que lo que tenemos es menos 1 pondremos más 1 x 1 y por último como no tiene resolución dejaremos este polinomio que nos queda aquí tal cual recordad que vemos como hemos quitado x a la cuarta x al cubo que son estos dos ya hemos sacado de soluciones lo que nos queda es x al cuadrado que sería la siguiente solución de zacarías entonces por el cis al cuadrado más más una como no podemos factorizar más lo dejaríamos así y eso serían los factores de nuestro polinomio he elegido un ejercicio un poco complicado para aplicarlo fin y para que veáis que no siempre nos van a salir si tenemos x a la cuarta nos van a salir cuatro factores puede ocurrir que una vez hemos hallado dos factores el siguiente polinomio no tenga solución y no se puede aplicar pues lo dejamos tal cual creo que con los ejercicios que hemos hecho podréis enfrentarnos a cualquier ejercicio de polinomios como siempre si tenéis dudas este este vídeo es un poco más extenso y un poquito más complicado si tuvierais cualquier duda para que nos enfoquemos en una zona muy concreta de este vídeo podéis ponerlo y haremos un vídeo aparte si os ha gustado darle a like seguirnos en facebook y esperamos vuestros comentarios