Cómo FACTORIZAR POLINOMIOS 📝 Ruffini, Raíces, Factores

hola a todos y bienvenidos a mi canal en este vídeo vamos a aprender a factorizar polinomios así que vamos a ello a que es para actualizar un polinomio si sabes lo que es factorizar un número sabes lo que es factorizar un polinomio porque es lo mismo lo único que cambia es que me dé solo tener número tengo esos números con letras mezclados conocidos como polinomios verdad pues recordemos que la factory zhar un número si tengo el 15 para expresarlo como esa multiplicación en la cual va a haber sólo exclusivamente factores primos esta multiplicación que hay aquí de factores primos me tiene que dar de vuelta este número del cual he querido hacer la factorización por lo mismo con el polinomio este polinomio tengo que conseguir expresarlo en esa multiplicación con factores que van a ser primos polinomios primos en este caso binomios primos pues vamos a ver cómo llegar a ello claro habiendo letras de por medio lo primero de todo en el polinomio si vemos que hay en los términos que tienen tienen algún factor en común vamos a intentar extraer lo fuera si no lo tiene como en este caso ese paso pues ya no lo hacemos siguiente paso ver que tenemos que polinomio tenemos qué características tiene qué grado tiene es un polinomio de grado 3 porque el exponente mayor de la letra que la letra es la x con es exponente mayor estrés por eso es polinomio grado 3 y sabemos que aquí para sacar las raíces porque lo que tenemos que hacer hallar sus raíces para luego pasarlas a factores para sacar sus raíces aplicamos ruffini sabéis que si es de grado 2 podríamos hacerlo fin y no sólo para las raíces enteras pero también lo que solemos hacer es igualarlo a cero y hacer una ecuación de segundo grado clavos a partir de grado 2 podéis utilizar ruffini se suele hacer a partir de grado 3 porque ya os digo para de lado 2 solemos o aplicar puntos notables y se puede recurrir a una ecuación de segundo grado así que como grado como es grado 3 ruffin aquí lógicamente llegados a este punto hay que llevar muy bien ruffini sea ruffini a tope de todas maneras inédita repasarlo asentar lo bien rica en la caja y ahí lo explicó en detalle en ese vídeo ahora voy a seguir procedimiento una manera más rápida porque ahí lo tenéis más en detalle cómo colocamos en su fin y el polinomio lo colocamos en orden empezando por el término independiente y sólo poniendo el coeficiente numérico el el número que acompañe a la letra en nuestro idioma en una mano de atrás el término dependiente no tiene letra lógicamente y es 5 que número acompañó izquierda x el menos 1 recordad que si no hay ningún número explícito es un 12 menos 1 siguiente el x cuadrado al menos 5 y el x 1 ya lo tengo recordad aquí importante si hay alguno que algún término que no hay por ejemplo el de equis ponemos un cero no nos lo saltamos porque no ya nos va a salir mal ruffini es un error típico o sea advertido qué hacemos ahora aquí vamos a tener que intentar buscar esa raíz como lo hacemos cogemos el término independiente que es el que no tiene letra y buscamos sus divisores los dijes de cinco son uno y cinco y sólo cogemos los positivos y negativos más 115 y menos 5 y vamos a empezar a probar aquí con cada uno de esos números y el que me dé aquí 0 al seguir el procedimiento va a ser a raíz de este polinomio pues venga empezamos con el 1 recordamos empezamos bajando este número y multiplicamos por este 1 por 1 es un resultado lo ponemos debajo del siguiente y hacemos la operación que toca menos 5 y como éste es positivo menos 51 menos 4 multiplicó por este menos cuatro por uno menos cuatro y lo pongo en este lado ahora menos 14 menos 5 y multiplicó por este libre desde las quintas para multiplicarlo con lo que nos va saliendo menos cinco por uno menos cinco he conseguido que aquí me de cero efectivamente 550 por lo tanto eso quiere decir que esté uno es raíz de este polinomio continuamos como aquí tenemos más de un número podemos continuar se puede volver a probar con el 1 porque pueden salir dos veces puede salir dobles las raíces pero vamos a probar con otro menos uno 11 x menos 1 - 1 menos 415 multiplicó menos 5 x menos 15 y menos cinco más 50 he conseguido otro cero aquí por lo tanto este es raíz y vamos a por el 5 positivo que está saliendo un redondo esto si probáis aquí me voy a hacer un ejemplo voy a probar con el menos 5 bajo el 11 por menos 55 menos 55 menos días no me da 0 que hago vuelva a provocar otro número vale que no me salga lo que dice que ahí terminó creo que toca probar con el resto de divisores de ese término independiente y vaya a probar el 5 borro esto bajo el 1 multiplicó por la esquinita 1 por 5 5 y 5 5 es cero y aquí que ya me queda un número ya paro no lo puedo continuar ya consiguió además las tres raíces que me indica el polinomio grado 3 que va a tener tres raíces y ha conseguido hallar mis raíces que también se llama raíces soluciones y entonces aquí tengo qué convertir esas pasadas a raíz de esa factores como se hace recordar raíces soluciones que es lo mismo que poner aquí soluciones como las pasamos a factores la solución 1 es lo mismo que el factor x y la solución cambia de signo la solución menos 1 es el factor x y el -1 cambiado de signo siempre es poner en el factor la equis y el número de la solución cambio de signo sea solución aquí era 5 pues x menos 5 estos entonces son los factores por lo tanto este polinomio descompuesto en factores primos sería x menos 1 por x + 1 por x menos 5 este polinomio sería como el 15 y cada uno de estos factores sería el 3 x el 5 pues por el otro que entendéis y eso quiere decir también que si yo hago el paso inverso multiplico estos tres binomios en este caso me van a dar finalmente este polinomio por lo tanto ahí tenéis una comprobación múltiples esto por esto que además es suma por diferencia es fácil de multiplicar luego lo multiplicamos por x 5 y os tiene que dar esto lógicamente para comprobar bien tenéis que llevar bien multiplicar este tipo de expresiones si no volvemos a lo mismo si no se haya multiplicado no sabéis si está bien etc así que ánimo con la práctica de operaciones con polinomios como veis que hemos hecho primero ver el polinomio puede estar el factor común no hemos necesitado hacerlo pues paso 2 directamente que tengo que puede aplicar ruffini hago ruffini rufin y busco esas raíces o soluciones y luego que he hecho con él sabrá decir sus soluciones ver a qué factores corresponden vamos ahora con este segundo polinomio vamos a factorizar lo primer paso que os dije ver si podemos extraer algún factor que tengan en común nos fijamos pero en el número y luego en las letras así lo vamos a hacer bien no nos vamos a olvidar ni del número ni de la letra primera del número bueno pues aquí siendo uno pues ya no tengo ningún otro factor en común es el 1 pues ya está de número nada y de las letras como vemos aquí hay x guarda aquí x como jackie x cuadrado por lo tanto sí que puedo extraer 2x de cada término porque fijaos lo que hace un poco gráfico x 4a que decir x x x x x x x 4 veces verdad aquí x x x x x el x y aquí el x parado x x x que tienen en común esos tres términos tienen en común máximo 2 x este caso estas dos en este caso estas dos en este caso por lo tanto ese será el factor común cuál es el factor común x elevado al cuadrado pues les traigo lo como aquí y ahora que es traigo voy a ver cómo me queda entonces el polinomio al extraer x al cuadrado decir les traigo 2 x de aquí me quedan 2x también tx cuadrado al extraer 2 equidad quien va a quedar una x menos 12 y m de x cubo solo una x + 36 si extraigo de este x cuadrado las dos equis que extraído fuera me queda sin x en el fondo cuando estaremos factor común para no tener que andar dibujando y tal lo que estamos haciendo es dividiendo cada término x cuadra x cuarta entre el que extraigo el factor común que ha extraído x cuarta entre x x cuadrado menos 12 x cubo entre x cuadrado me da menos 12 x veis es hacer divisiones pero pero aquí lo hay sentido e incluso gráfica deja con un pequeño dibujito y os entra mucho mejor pues bien ahora lo que tengo que factorizar este ya me olvidó ya extraído esta parte estoy empezando ya a factorizar ahora lo que voy a fijar ese instituto y novios que como vemos es un polinomio de segundo grado x cuadrado mayor exponente es 2 y además vemos que es un trinomio que sigue la estructura de un producto notable iris llega nada no pasa nada el que la vea genial pues a saltar muchos pasos ahí tenemos un producto notable entonces que lo vea lo que hacer es hacer el paso inverso y ver de qué resta al cuadrado viene porque comemos es una resta al jugador como vemos me refiero a los que lo veis los que lo veis tranquilos si no lo veis si no veis que es un producto notable tranquilos vemos que es de segundo grado y sabemos sacar raíces de un polio del segundo grado seguro que sí pues hasta no problem podemos hacer ruffini pero al ser de segundo grado también podemos igualar a cero y hacer una ecuación de segundo grado aquella lo que prefiráis el que quiera hacerlo cínica de ruffin y el que hace es un grado de segundo grado pero también cuidado aquí ruffini sólo nos vale para las raíces enteras por lo tanto que al final lo que sólo preferir es segundo grado la ecuación de segundo grado pues eso lo que voy a hacer igual x cuadrado menos 12 x más 36 a 0 para sacar esas raíces para sacar esas soluciones recordamos que la fórmula de la ecuación de segundo grado era voy a poner lo mejor en azul para creo que es mejor menos ve más menos ahí debe al cuadrado menos 4 x aporte partido de dos horas y que eso que es eso de acceso de b clicka en la caja ver el vídeo más en detalle pero tranquilos explicó rápidamente la a la b y la c tenemos que reconocer que son estos términos el número que acompaña al x cuadrado es la a el que acompaña a la x es la b y el que acompaña a nadie el que se independiente es la c pues de aquí ya sabemos que la as-1 ponerlo si queréis porque a veces tenemos la tentación de poner cero la vez menos 12 y la 636 con eso vamos a sustituir en nuestra fórmula menos de icod iraquíes menos y lo que vale de ves menos 12 por lo tanto ciudad aquí cuando la ves negativa es que 6 unido como aquí pone menos va incluido no menos y lo que es b menos 12 2 menos seguidos cuidado aquí más menos hay debe al cuadrado menos 12 al cuadrado va a ser positivo 12 144 menos cuatro por a que es uno por fe que es 36 y menos 436 144 partido de dos por a dos por el dos por uno a uno vez aquí que no pasa aquí haciendo a nivel número 54 raíz de 000 entonces en el fondo no voy a tener dos soluciones no voy a tener una para la positiva y otro para la activa sólo va a tener menos menos 12 que es 12 partido de este 2 que me sale 6 esté 6 al anularse me aquí la raíz el positivo y el negativo como he dicho no se va a dividir en dos pues dos soluciones que van a ser distintas cuando sucede eso que os sale aquí la raíz a cero se pone que solución doble y esto es muy importante precisamente para esto de factorizar hay veces que cuando empezamos a resolver ecuaciones de segundo grado y os dicen cuando salga esto de celo es la solución es doble y no lo entendéis no entiendo esto para que si va a ser seis y seis para que tengo poner seis dobles pues para esto precisamente para ahora tenerlo en cuenta a la hora de factorizar y ya lo tenemos entonces tenemos este 6 que es la solución que es la raíz de ese polinomio de este índice que es doble en que se traduce eso en que cuando yo quiero esa solución expresarla como factor tengo un 6 de factor sería la equis y el 6 cambiado de signo es que tengo un 6 doble con 12 veces por lo tanto veis sería x 6 al cuadrado x 6 x x 6 por lo tanto este polinomio bueno lo hemos ido expresando aquí y aquí hemos extraído un factor común que tenemos x cuadrado y luego este polinomio que hemos acabado de ver que es x 6 x x 6 y todavía puedo expresarlo que sea menos largo x cuadrado x x 6 al cuadrado esta sería la factorización de este polinomio veis y aquí lo que hemos hecho es estaremos factor común nos hemos dado cuenta que hace de segundo grado podríamos hacer el producto notable ahora veremos cómo cómo se cómo se vería para aquellos que os cueste como punto notable iríamos más directos pero vamos hemos visto que el con el visto punto notable a ser segundo grado pues puede hacer ecuación de segundo grado y hemos sacado de esas dos soluciones si hubieras hecho ruffin y hubiéramos tenido que hacer los divisores de 36 y hubiera explorado con el 1 con el menos 1 y al probar con el 6 os hubiera salido 0 ves que tenéis que volver a probar con el 6 para que os hagáis seis dos veces para que os saliera completo al final la fertilización como haríamos si en este paso imaginaos cuando hemos extraído factor común y estamos aquí somos capaces de identificar que esto es un producto notables vemos aquí los cuadrados perfectos que son los extremos vemos que hay una resta una suma entonces veríamos que viene de una resta en el cual el primer término sería que termino me daría al elevado al cuadrado x cuadrados pues x que termino me daría al elevarlo al cuadrado 36 6 aunque 6 al cuadrado es 36 veis entonces tendría una resta al cuadrado lo haría directamente o sea es que esto sería que nos suprimiríamos todo esto por lo tanto una razón más para aprendernos los productos notables que a veces nos cuestan pero de verdad una vez que lo aprendemos son una maravilla nos facilitan un monto la vida como veis en este ejemplo imaginaos haber suprimido todo esto hubiera lleva simplemente identificando esa estructura de este trinomio que sigue un producto notable vamos ahora con este último ejemplo factorización de este polinomio vamos a fijarnos en lo que tenemos y además tenemos una cosa diferencial diferente a lo que hemos hecho hasta ahora y es que el término principal es el que tiene el exponente mayor que es x cubo tiene un número multiplicando lo que no es uno es dos cuando es distinto de uno esto hay que tenerlo en cuenta ahora ya veremos para que en los ejercicios anteriores hemos hecho uno que tenía x cubo otro que tenía x cuarta pero como veis x como es una x cubo y x 4 es una x cuarta en el momento que tienen 12 x 3 x lo que sea y es el término principal hay que tenerlo en cuenta así que lo vamos a redondear para que luego no se nos olvide vamos a empezar primer paso está el factor común si lo hubiera nos fijamos de números no hay factor común y de letras tampoco es el primer paso hecho porque no hay que hacerlo segundo fijaron en lo que tengo es significa menos que tengo puede entrar el apartado este de fijarme en el término principal si tiene un número multiplicando y que tengo un polinomio de grado 3 grado 3 pues venga vamos a hacer ruffini entonces para sacar esas raíces esas soluciones para hacer un cine recordamos colocamos en orden x cubo el 5 en el menos 4 y menos 3 qué bien porque no me falta ninguno de los términos recordad en el momento que falte uno imaginaos que aquí falta x cuadrado pues aquí pondría un punto cero para tenerlo en cuenta y vamos a empezar probando con esos divisores de tres positivos y negativos los divisores de 3 más menos 1 más menos 3 y empezamos probamos por el 1 bajo el 2 2 por 1 2 5 y 27 7 por 177 4 3 y 3 por 1 3 bien nos dio suerte me ha dado 0 por lo tanto este 1 va a ser soluciones de poli no va ser raíz seguimos como aquí no queda sólo un número podemos seguir además sabemos que el exponente máximo el grado de este polinomio nos va a indicar las soluciones máximas que va a tener pues hasta tres podemos probamos con el menos uno podemos probar pero menos uno no nos va a salir él con la plástica iréis viendo qué vosotros probar pero ya veréis cuando cojáis práctica veréis antes de hacerlo que no sale más 3 -3 creo que sale bajo el 22 por menos 36 lo pongo aquí 7 - 6 1 y 1 por menos 3 - 3 y ahora aquí fijaos que como hay dos números podría probar y además al probar recordad que puedo repetir con cosas que llamas con raíces que van a salir anteriormente pero qué va a pasar aquí que no nos va a salir a ninguna más pero sin embargo aquí no tengo sólo un número estoy decir que aquí que polinomio nos ha quedado tengo que saber esto esto es esto vamos en orden de derecha a izquierda el uno va a ser el término independiente y es más uno el siguiente va a ser el término de x el 2 más el 2x y esto lo igualamos a 0 y de aquí podemos sacar esa raíz que como veis aquí en este caso esa solución va a ser una fracción por el que ruffini como veis sólo nos vale para esas raíces que sean enteras pero me toques infracción puesto que hacer es el que me queda aquí y poniéndole esas x bueno o la letra que sea recordar y igualarlo a 0 y hacer esta ecuación para hacer esta ecuación más 1 pues resto en ambos miembros 2x se me va aquí menos 1 aquí dividido entre dos y me queda aquí entonces equis y aquí menos un medio y aquí tengo esa tercera raíz que efectivamente era una fracción veis ya tengo las tres vamos a poner esas soluciones y los vamos a expresar luego en factores soluciones factores solución 1 que factores x1 recordad que la solución cambia de signo con esa equis la solución menos 3 x + 3 y la solución menos un medio x más un medio ya entonces nuestro polinomio como esa multiplicación de factores primos y aquí es donde entra en juego es de dos ponemos dos el dos va a multiplicar a los factores que acabo de llegar a x1 x 3 y ax más un medio y entonces sí multiplico todo esto me va a dar efectivamente este polinomio y hasta aquí el vídeo de hoy si te ha gustado el vídeo dale me gusta y compártelo suscríbete a este canal y sígueme en mis redes sociales si quieres estar al tanto de nuevos vídeos y ejercicios que tengas un buen día y nos vemos en el próximo vídeo