Ruffini 4 - Divisores de la forma ax+b

[Música] aquí tenemos un polinomio px de tercer grado y otro de x del primer grado y lo que vamos a hacer es estudiar las diferentes formas de hacer la división de p de x / de x nuestro objetivo es conseguir el polinomio cociente y el polinomio resto en este caso como el divisor es de primer grado el resto va a ser de grado 0 es decir un número nuestro primer intento va a ser realizar la división tradicional el procedimiento lo tenemos estudiado en otro vídeo que queda en las tarjetas y en la descripción pero ahora lo vamos a realizar rápidamente [Música] [Música] bien entonces hemos conseguido este cociente y este resto ya que estamos vamos a revisar los siguientes la raíz del divisor estrés y el teorema del resto nos asegura que la raíz del divisor evaluada en el polinomio nos tiene que dar lo mismo que el resto es decir 25 cosas que podemos verificar calculando el valor numérico y lo vamos a hacer pero con la segunda forma de ser la división es decir haciendo uso del esquema de rufino que también lo hemos visto con anterioridad vamos a escribir por acá los coeficientes 1 en de grado 3 es 1 - 2 el de grado 2 5 el de grado 1 y 1 en el grado cero o término independiente vamos a utilizar la raíz del divisor que es 3 y ahora aplicamos el algoritmo puro por 33 menos 21 por 33 58 8 por 324 más 125 muy bien quiere decir que el resto lo tenemos por acá y el cociente es x cuadrado porque es uno por equis cuadrado más uno por equis más 8 así que obtenemos lo mismo pero empleando el esquema ruffin ya sabíamos que con divisores de la forma x menos alfa con fin y funciona además de calcular para calcular valores numéricos para hacer la división acá arriba tenemos los coeficientes del dividendo este 3 indica que el divisor es x menos tres y obtuvimos este cociente y resto por ahora va todo muy bien ahora lo que queremos ver es si podemos utilizar el esquema ruffini para hacer divisiones con divisores de otro tipo por ejemplo si el divisor vamos a cambiarlo hubiera sido 2 x menos 6 ya no tiene la forma de x menos alfa sigue siendo el primer grado pero el coeficiente principal no es 1 evidentemente el divisor no es el mismo que antes por lo tanto la división no puede darnos el mismo resultado pero observemos que la raíz la raíz 2 x menos 6 igual 0 2x es igual a 6 x es igual a 3 o sea la raíz sigue siendo 3 esto aparentemente inhabilita el uso del esquema de rossini para hacer la división porque al ser la misma raíz y los coeficientes del polinomio sean los mismos vamos a obtener mismo cociente el mismo resto y estamos diciendo que la división debería darnos un resultado distinto entonces vamos a ver que es cierto la división no es la misma pero de todas formas podemos aprovechar el esquema de rossini vamos a analizar lo siguiente pd x / x menos 3 que es la primera división que hicimos nos da como resultado un cociente que vamos a llamarles es 1 de x y un resto que vamos a tomar eres un 1 porque poner los índices porque vamos a ver también la división de px entre 2 x menos 6 que eventualmente nos estará dando un cociente que será distinto sesudos de x y un resto r su 2 aplicando la definición de división en ambos casos tenemos un dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto y de este lado también dividendo es igual a divisor por cociente más el resto observemos que en el segundo caso el divisor tiene un factor común 2 vamos a extraer ese factor común entonces puedo dejar escrito pd x como 2 por x 3 por ser sub 2 de x + r su 2 notemos que aquí tenemos un producto de tres factores como se cumple la propiedad conmutativa el orden de los factores no altera el producto podemos escribirlo de esta manera e incluso podemos asociar el producto de estos dos factores volviendo a emplear la definición de división esta última igualdad nos permite escribir este esquema de división en donde el divisor va a ser x menos 3 el cociente va a ser dos veces se sube 2 de x y el resto de resultados bien veamos que estamos obteniendo acá la división que estamos haciendo ahora es exactamente la misma por lo tanto sacamos las siguientes conclusiones eres uno tiene que ser igual a r sus 2 porque es la misma división además en ambos casos la raíz del divisor y la 3 y el teorema del resto nos garantizaba que puede 3 quedaba 25 iba a ser igual al resto en ambos casos el resto es igual pero la conclusión más importante que sacamos de todo esto es que cesc 1 el cociente que yo originalmente estoy buscando tiene que ser igual a 2 veces xesús 2 voy a escribir acá la relación entre esos cocientes que acabamos de descubrir 61 de x es igual a 2 veces se sube 2 de x haciendo un balance yo quiero efectuar esta división con el divisor 2x menos 6 en principio no podría serlo por ruffini pero si nosotros efectuamos esta división acá si el divisor es de la forma x menos alfa y podría emplear ruffini lo que ocurre es que el cociente que voy a obtener aplicando ruffini es este que está acá que hay dos veces y que en realidad estoy buscando yo estoy buscando obtener 62 de x y eso va a ser el que obtengo empleando ruffini / 2 bueno en definitiva es posible emplear ruffini o no para hacer esta división la respuesta es sí porque lo que obtenemos es un cociente que ya sabemos que va a ser el doble de que en realidad esperamos a obtener porque el doble porque el coeficiente principal es un 2 si el coeficiente principal del divisor hubiera sido un 3 el resultado sería un cociente triple del que estoy buscando así que la conclusión es que el cociente sesudos que estamos buscando es x cuadrado más x + 8 / 2 o un medio x cuadrado más un medio x 4 para comprobarlo vamos a hacer la división con el método tradicional para conseguir x 3 tengo que multiplicar por un medio x2 un medio equipo por 2 x nos queda que 2 por un medio me da 1 x 3 - x 3 y lo que tengo que poner acá un medio x2 x menos 6 nos queda menos 3 x 2 + 3 x 2 en lo que tengo que poner acá muy bien terminamos esta parte nos queda aquí 2 bajó el 5 x y continuó ahora tengo que poner un medio de x un medio de x por 2 x me queda y 2 - x 2 pongo aquí un medio por menos 6 verdad menos 3 x + 3 x pongo aquí 8x bajo el 1 y ahora tengo que poner más 4 porque así 4 x 2 x es 8 x menos 8 x pongo aquí 4 x menos 6 menos 24 más 24 como aquí el resultado ya no se está quedando 25 es el resto y el cociente efectivamente es el que yo tenía acá terminemos viendo esto en forma totalmente genérica yo quiero realizar la división ep de x entre un divisor de la forma a x mabe voy a obtener un cociente cd x sesudos vamos a poner y un resto de red ya vimos que el reactivo a ser el mismo por la definición de división pd x es igual a divisor por cociente más el resto extraigo a de factor común el divisor inocuidad por equis + v sobre a por sesudos de x + r reordenó px es x más ves ahora por a veces se sube 2 de x + r generó un nuevo esquema de la división px dividido ahora entre x + besora obteniendo un cociente que es a veces se sube 2 de x y resto r ahora esta división si puede efectuarse por ruffini usando la raíz del divisor que es menos b soria en el esquema así que pondremos por acá - ves ahora y vamos a obtener un cociente 61 de x que sabemos qué será a veces se sube 2 de x y acá abajo obtendremos el resto correcto bien entonces jesús 2 de x lo puedo calcular muy fácilmente haciendo se sube 1 de x que sean cociente que voy a obtener otro fin y dividido el coeficiente principal del divisor entonces puedo usarlo phinney para dividir entre divisores de la forma de x + b si simplemente tengo que tener en cuenta que al utilizar la raíz del divisor voy a obtener un cociente que es a veces más grande que el que en realidad estoy esperando y con esto damos por finalizada la explicación [Música] gracias por ver el vídeo te invito a suscribirse al canal si te ha resultado útil compártelo con quien crees que pueda aprovecharlo por favor no olvides indicar que te ha gustado y anímate a comentar [Música]