FACTORIZAR POLINOMIOS ❎ Factor común, RUFFINI, Productos Notables

vamos a comenzar con ejercicios que nos pueden aparecer de diferentes maneras para factorizar polinomios si has caído en este vídeo que sepas que va a ser un vídeo más práctico de todas maneras voy a ir indicando en cada parte qué es lo que debemos haber practicado qué es lo que debemos de saber para llegar a hacer este ejercicio correctamente y sin problema además iré indicando En qué vídeos yo tengo explicada esa teoría con más práctica para aquellos que necesitéis repasar antes de poder hacer estos ejercicios Pues bien aquí tenemos estos dos polinomios como veis aquí tenemos un polinomio de quinto grado ya sabéis que el grado nos lo da el mayor exponente de esa variable que entra en juego que es esta incógnita que es la x en este caso Entonces tenemos este polinomio una manera de factorizar que por cierto vamos a hablar de qué es eso de factorizar expresar en factores más sencillos cuando hablamos de factorizar un número por ejemplo el 15 es expresarlo en factores por ejemplo 3 por 5 además en este caso primos Vale pues hemos factorizado el 15 veis lo hemos expresado en Estos factores Pues aquí igual lo que pasa es que este polinomio no es un solo número como veis todo un polinomio como lo factorizamos una herramienta que nos va a ayudar a factorizar en algunos polinomios es extraer factor común es decir si nos damos cuenta que en los diferentes términos que tiene hay factores que estos son comunes a todos esos términos pues lo podemos extraer tengo aquí el 3 nos fijamos primero en el coeficiente es decir en el número y luego en las letras en el coeficiente que tengo aquí un 3 y aquí este 6 que lo puede expresar como 3 por 2 Entonces qué tengo en común el 3 No pues de números traeré el 3 y de X tengo 5x y aquí tengo 4x por lo tanto en común Tengo cuatro en ambas Aquí tengo cuatro y aquí tengo cuatro más una verdad Pero tengo cuatro nada más entonces en este caso es x a la cuarta y una vez que ese es el factor común vamos a extraerlo de cada término para ello lo que se hace es dividir no 3x quinta si les traigo 3x cuarta estoy dividiendo no Entonces 3 entre 3 1 x quinta entre x cuarta x más 6x cuarta entre este que es el que es traído 6 entre 3 2 y x cuarta entre x cuarta Pues nada pues ya está ya lo tendría ya he expresado este polinomio veis lo he factorizado esta multiplicación el 3 por x cuarta por todo este paréntesis además una manera de comprobarlo es si al operar Esto me da Esto está correcto vale vamos a comprobar 3x cuarta por x 3 x quinta genial 3x cuarta por 2 3 por 2 6 y el X cuarta genial vamos ahora con este con este también podemos utilizar la herramienta de extraer factor común Por qué Porque nos fijamos que en las X en común tienen todos 3x seguro bien y de número Tenemos aquí el 5 aquí tenemos 5 por 6 también y aquí el 5 por el 9 Entonces tenemos el 5 en todos Entonces el factor común 5 si lo extraigo vamos a extraer de aquí menos 5x quinta entre 5x cubo menos 5 entre 5 - 1 - 1 que puedo escribirlo así x quinto x quinta entre x cubo x cuadrado vale Ahora de aquí si os traigo el 5 pues divido 30 entre 5 me dará 6 y cuidado que es negativo menos 6 x cuarta entre x cubo me da x y ahora aquí menos 45 entre 5 9 - 9 cuidado que es negativo y x cubo entre x cubo pues ya está se quedaría así de nuevo si multiplico todo esto me va a dar este polinomio inicial que era el que tenía que factorizar Ahora imaginemos que nos piden factorizar estos dos polinomios nos fijaríamos aquí en este caso y no encontramos un factor que sea común en todos los términos por lo tanto ya no puedo usar esa herramienta de extraer factor común que por cierto el que necesite repasarla a fondo ponerla en práctica clicar ahí en la caja que ahí tenéis el vídeo que os llevará donde lo explico más en detalle Pues bien no puedo usar herramienta de extraer factor común qué otra herramienta podemos usar ruffini Cómo aplicamos ruffini en este caso para factorizar primero de todo es darnos cuenta que hay una cosa que se llama la raíz de un polinomio Qué son las raíces de polinomio son aquellos valores que si yo se los doy a la incógnita me hacen el polinomio cero pues vamos a averiguar esas posibles raíces que van a ser las posibles raíces van a ser los divisores del término independiente aquí Tenemos que tener claro que es término independiente es aquel que no tiene letra vale veis aquí el 6 es el que no tiene la letra Pues ese es el término independiente Pues los divisores del término independiente van a ser posibles raíces de este polinomio importante aquí los divisores positivo en positivo y negativo es decir vamos a poder Probar con el más y el menos uno más menos dos más menos 3 y más menos 6 estas van a ser las posibles raíces Por cierto como máximo el polinomio si es de grado 3 va a tener tres como máximo Entonces vamos a empezar a aprobar colocamos Para ello el polinomio de esta manera en orden el coeficiente de cada término es decir aquí qué número acompaña x cubo aunque no hay ningún número es el 1 vale aunque no esté escrito luego el siguiente el de X cuadrado es 2 El de X es -5 importante aquí con los signos y el término independiente -6 si por lo que sea aquí quiero hacer esta aclaración falta uno de estos términos imaginemos que el X cuadrado no lo tiene Pongo aquí un cero vale eso es importante porque si no ya voy a hacerlo mal ok vamos a hacer este proceso que también lo tengo explicado en mi canal Cómo realizar ruffini Vale Voy a ir por eso un poco más rápido pero también sin editar pasarlo clica en la caja que ahí tendrás el vídeo Entonces vamos a ir probando probamos por ejemplo con el más uno se pone aquí la raíz Nos bajamos Este primer número y luego lo multiplicamos por el de la esquinita le llamo yo aquí el de la esquinita uno por uno uno el resultado lo ponemos aquí y todo lo que hay aquí se suma dos más uno tres ahora multiplicamos por la esquinita 3 por 1 3 lo ponemos aquí menos cinco más tres menos dos menos dos por uno menos dos Y aquí menos 6 menos 2 menos 8 Qué hago con esto quiere decir que esto no es raíz porque tengo que conseguir aquí un cero para decir que es raíz pues borro ahora pruebo con el -1 luego llegará un momento que de tanta práctica Vais a ser capaces de ver casi mentalmente Cuáles van a valer y cuáles no pero mientras tanto vamos a ir haciéndolo así yo lo estoy haciendo apuesta pues para que no tengáis ningún problema vamos a probar ahora con el -1 hemos dicho verdad venga hemos dicho bajo el primero el 1 multiplicó por la esquinita 1 por -1 -1 lo pongo aquí ahora opero esto dos menos uno uno por menos uno menos uno lo pongo aquí menos 5 menos 1 menos 6 menos 6 por menos uno más seis menos seis más seis cero anda genial Entonces ya sabemos que el -1 va a ser raíz de este polinomio qué quiere decir eso que si sustituyó la x por -1 y opero todo esto el valor numérico del polinomio va a ser 0 vale Eso quiere decir que es raíz del polinomio también se dice raíces o soluciones vamos a probar ahora con otro ahora ya me quedo con estos tres probamos con el +2 Por cierto se puede repetir otra vez el menos uno podría volver a salir vale aquí no es eliminatorios y sale una vez bajo el uno ahora multiplico por la esquinita 1 por 2 2 y lo pongo aquí o Pero esto uno más dos tres ahora multiplico para la esquina 3 por 2 6 - 6 + 6 0 genial esto quiere decir que el +2 también es otra raíz otra solución del polinomio voy a seguir aquí para no Eliminar nuestro ejercicio de antes el 1 y el 3 y tengo que probar ahora con otra de aquí pero veis si yo pruebo con el 3 con el con el 3 no más bien tendría que probar con el 3 Sí sí porque como bajo el uno uno por tres por menos mejor uno por menos 3 me sale menos 3 y ahora tres menos tres cero tendría también el -3 cuando paramos de sacar raíces como veis ya hemos alcanzado el máximo hemos alcanzado tres como máximo por el grado que me lo indica vamos a tener tres raíces pero es que además cuando aquí ya tengo un solo número ya tengo que parar ya no tengo más entonces raíces enteras esto es también muy importante porque aquellas que fueran fracciones no las vamos a conseguir de esta manera ya hemos conseguido saber que las raíces de este polinomio son -1 + 2 y -3 y esto que tiene que ver con factorizar que por cierto voy a quitarlo porque si no al final mejor y así lo aclaramos todo mucho mejor vale habíamos probado con el menos tres bajamos el 11 por menos tres menos tres cero vale como íbamos diciendo estas tres son raíces Pues ahora cómo expresamos esas raíces cómo nos expresamos en factores el -1 es el factor x + 1 se pone x y se le cambia el signo el 2 es x y cambiado de signo el 2 es decir x - 2 y el -3 es x y el -3 cambiado de signo es decir este polinomio como lo expresaríamos su factorización sería igual a x + 1 por x menos 2 por x + 3 y así sería como se factorizaría este polinomio de grado 3 vamos a factorizar ahora este polinomio que como vemos es bastante largo no es un polinomio de cuarto grado pero claro podemos decir si no nos damos cuenta de que podemos extraer factor común podemos ponernos a hacer ruffini y no encontramos el término independiente ya sabéis que para intentar sacar esas raíces del polinomio con ruffini debemos tener ese término independiente que es el que nos va a decir cuáles van a ser las posibles raíces con sus divisores verdad pero claro aquí no tenemos término independiente si no encontramos término independiente nos está indicando que entonces es que hay un factor común mínimo que podemos extraer que es en este caso la x seguro que una x tiene todos en común efectivamente una x tienen dos en común pero es que no son la x Qué le pasa a este 2 el 10 también tiene un dos dos por cinco el ocho también tiene un dos dos por cuatro y el 40 también tiene un dos dos por 20 por lo tanto también puedo extraer el 2 Y si os traigo un dos y una x de cada uno de los términos me queda aquí una x cubo aquí me queda un 5 de número y de X X cuadrado aquí me queda de número un 4 y de X cuadrado me queda en solo una x y aquí de número me queda 40 entre 220 y x entre x nada qué quiero decir con esto que ya he extraído este Factor Ahora me queda este este es el que voy a hacer ahora ya por ruffini ahora sí puedo hacer ruffini Este es el que voy a colocar en modo ruffini ya sabéis en orden x al cubo el coeficiente es uno x al cuadrado el coeficiente es más 5 x el coeficiente es -4 y el término independiente Cuáles van a ser las posibles raíces o soluciones de este polinomio los divisores de 20 más menos uno más menos dos más menos más menos cinco más menos 10 y más menos 20 tenemos todas estas posibilidades pero máximo nos van a salir tres porque es de grado 3 vamos a probar con a ver yo voy a ir ya a lo que seguro nos va a salir pero iríais probando y vamos a hacerlo con el 2 bajamos el 1 por 2 2 Lo pongo aquí y opero como este es más 5 y este es más dos pues más cinco más dos más siete multiplico este por la esquinita 7 por 2 14 lo escribo aquí como tengo -4 + 14 me saldría un 10 multiplicó por aquí 10 por 220 anda Mira menos 20 más 20 0 efectivamente el 2 es una raíz de este polinomio seguimos probamos ahora con el -2 bajamos el 1 1 por -2 - 2 y lo pongo en el siguiente opero esto más 7 menos 2 más 5 ahora multiplicó este por este 5 por -2 - 10 y lo pongo debajo del siguiente y opero más 10 menos 10 0 genial ya llevamos estas dos raíces del polinomio y ahora probaríamos ya el último con el -5 bajo el 1 1 por menos 5 menos 5 y si operó esto más 5 menos 5 es 0 ya terminado porque ya tengo aquí solo un número Ya no puedo seguir y además confirmo que tengo tres raíces que son las máximas que puedo tener en este polinomio por lo tanto estas que son las raíces o soluciones del polinomio me van a decir que los factores que voy a tener Es decir la descomposición en factores la factorización de este polinomio va a ser primero el que sea es el que extraje antes vale 2x Y luego este polinomio que es el que acabo de factorizar que es la raíz 2 que es el factor x - 2 la raíz -2 que es el factor x + 2 y la raíz menos 5 que es el factor x + 5 y así sería como factorizaríamos este polinomio lo expresaríamos así de esta manera vas a factorizar ahora estos tres polinomios y para ello vamos a utilizar otra herramienta que también nos puede nos ayuda a eso a expresarlo en factores estos polinomios que es los productos notables nos damos cuenta de que estas estructuras vienen de productos notables aquí tenemos un trinomio que sigue una estructura de producto notable Aquí también un trinomio y aquí tenemos una resta de cuadrados por lo tanto aquí es fundamental para poder hacer este ejercicio manejar muy bien producto notables Así que te recomiendo que veas los vídeos de productos notables que practiques un montón para poder luego llegar a hacer el paso inverso no debemos tener claro aquí que esto es un trinomio que viene de una resta al cuadrado ojo insisto yo esto lo veo porque ya es mucha práctica de productos notable si no lo vemos es bueno primero practicar el desarrollo de los productos notables y luego hacer el paso inverso vale Entonces esto viene de una resta porque lo sé porque tengo aquí los cuadrados y aquí tengo la resta del doble del primero por el segundo Vale entonces Esto me va a indicar que término va a ir aquí qué término va a ir aquí qué término cuando lo eleve al cuadrado me va a dar x cuadrado Una x x y la elevo al cuadrado me va a dar x cuadrado Pues será el que irá aquí Y qué número cuando lo eleve al cuadrado me va a dar uno uno al cuadrado es Uno no Uno luego además compruebo que efectivamente si hago el doble del primero por el segundo me da esto hago el doble de x 2 por x por este número por uno dos por x por 1 me da 2x sí Y además pongo resta Porque aquí tengo este término con resta vale con un signo negativo entonces viene de una resta al cuadrado entonces he factorizado veis este polinomio es igual a x - 1 por x-1 o lo que es lo mismo x - 1 al cuadrado ahora este veamos vemos aquí en el extremo los cuadrados veis lo elevado además vemos que son todos sumas entonces va a ser una suma al cuadrado de que qué término si lo elevo al cuadrado me da x cuadrado la x qué término si lo elevo al cuadrado me da 25 el 5 o sea en este caso qué número el 5 vale Y ahora si hago el doble de este por este me da este sí dos por x es 2x por 5 10 x Perfecto entonces viene de esta suma al cuadrado y ahora aquí cuando tengo dos términos que se restan Y ambos son cuadrados también perfectos pues ya lo tengo claro es una suma por diferencia es otro producto notable que insisto si no sabemos esto De dónde viene repasamos productos notables viene de la suma por diferencia se llama aquí en este término en este primer término de ambos de la suma y de la resta voy a poner qué término cuando le elevo al cuadrado me da esto Pues en el caso del número 6 al cuadrado me va a dar 36 y en el caso de la parte literal x al cubo vale me va a dar x a la sexta y ahora qué número cuando lo eleva al cuadrado me va a dar 49 el 7 Pues será mi segundo hotel y si yo multiplico esto por esto efectivamente me va a dar esto lo mismo aquí y aquí me va a dar ese polinomio inicial que tenía que lo que he hecho ahora es al revés es expresarlo como esos factores que al final eran estas estructuras de productos notables hay preguntas que valen doble las raíces enteras del polinomio x cuadrado + x son tenemos que recordar que eran raíces vale 0 y 1 el rojo cero y menos uno el azul amarillo 1 y 2 y verde uno y menos uno vale raíz de un polinomio son aquellos valores que si yo sustituyo la x me hacen 0 Por ejemplo si al sustituyó por cero cero al cuadrado más 0 me vas es cero si si sustituyó por menos uno menos uno al cuadrado es uno más menos uno uno menos uno es cero O sea que esas son vale cuidado aquí siguiente Bueno bueno no es el primer puesto hay que mantenerlo Este vale el doble vale factoriza ese polinomio x cubo menos x cuadrado en rojo tenemos x por x-1 en azul x por x + 1 en Amarillo x cuadrado por x - 1 y en verde x cuadrado por x + 1 vale es el amarillo efectivamente por qué Porque si multiplicamos Bueno si está si hacemos al revés vale extraemos factor común que podemos hacerlo como vemos porque tienen en común la x cuadrado Pues nos quedaría x - 1 o sea Ahí lo tenemos muy bien aquí la mayoría lo habéis hecho genial Holi primer puesto venga Ah estaría el doble claro por eso te ha remontado No él venga vamos utilizando productos notables factoriza ese polinomio x cuadrado más 8x más 16 rojo x + 8 todo yo al cuadrado azul x + 2 todo y al cuadrado amarillo x + 4 * x -4 o verde x + 4 todo y al cuadrado efectivamente eso es ese polinomio expresado en factores Lo tendríamos como una suma al cuadrado muy bien vamos ahora viene una que vale doble también las raíces de ese polinomio x por x-1 por x + 2 son 0,1 y -2 el rojo 0 - 1 y 2 el azul 1 y -2 en Amarillo 0 doble y menos uno el verde cuidado aquí ojo bien bien esa x de fuera es cero luego está x menos 1 que es 1 y x + 2 que es menos 2 muy bien ahí remontando Claro que sí las posibles raíces enteras de un polinomio de término independiente dos son es decir aquí me están diciendo que hay un polinomio cuyo término independiente es el 2 qué posibles raíces puedo tener entonces rojo 1 y 2 azul 0 1 y 2 amarillo cualquier número verde uno menos uno dos y menos dos Cuál será qué será eso de raíces si x menos 1 el factor x menos 1 la raíz es uno quiere decir x-1 es igual a 0 cuando te da despeja x es igual a 1 bien el verde eso es son los divisores de 2 positivos en positivo y en negativo es decir los divisores son 1 y 2 Pues el 1 positivo y negativo y el 2 positivo y negativo Muy bien pues nada vamos a ver cómo ha quedado el podio tercer puesto para hoy segundo puesto para Galicia viva Galicia hombre Claro que sí que soy gallega por si hay alguien que no lo sabéis y primer puesto para Noel Enhorabuena Enhorabuena los que habéis quedado en el podio pero Enhorabuena también a los demás por esta tarde tan chula por este directo que hemos tenido que yo me lo he pasado pipa y nada espero que hayáis aprendido y sobre todo disfrutado que en eso consiste se puede aprender disfrutando ya lo veis y hasta aquí el vídeo de hoy si te ha gustado el vídeo dale a me gusta y compártelo suscríbete a este canal y sígueme en mis redes sociales Si quieres estar al tanto de nuevos vídeos y directos Que tengas un buen día y nos vemos en el próximo vídeo