POTENCIAS 💪 Propiedades y Operaciones

una de las cosas que aprendemos cuando trabajamos con potencias es esta que vemos aquí ha elevado a 0 es igual a 1 y hay veces que nos preguntamos por qué y eso es muy bueno hay que preguntarse por qué si no nos lo explican de dónde viene eso de que ha elevado a cero sea igual a 1 si además alguno puede decir no tiene sentido y tiene razón porque si pensamos en lo que es una potencia una potencia es una manera de expresar si yo escribo aquí 2 elevado a 3 es 2 x 2 por 2 es una manera de expresar una multiplicación que tiene los factores iguales es decir el 2 x 3 veces lo podemos expresar de esta manera 2 elevado a 3 y esto es una potencia entonces aquí en el fondo estamos diciendo el 2 multiplicado en ese sentido decir que es un número cualquiera por cierto aquí cualquier real excepto el 0 en este caso vale porque es elevado a 0 ahí nos encontramos con una indeterminación sí por eso que un número elevado a cero quiere decir un número x o veces y por cada uno en este caso no tiene sentido que suceda con esto esto es una definición que ha elevado pero es igual a 1 es una definición y vamos a entender por qué de una manera 2 elevada a 3 por ejemplo ya que tengo el 2 elevado a 3 aquí entre 2 elevado a 3 si tengo aquí esta división y voy a calcular esta potencia 2 elevado a 3 es 2 x 2 por 2 que es 8 18 entre 8 y resulta que esto me da 1 verdad pero es que este 2 elevado a 3 entre 2 elevado a 3 podemos calcularlo de otra manera algunos ya se dará cuenta y alguno que ya sepa operar con potencias que tengan la misma base puede decir a puede escribir 2 elevado a la resta de los exponentes ya sabéis potencias con misma base puedo poner esa base y restar los exponentes cuando se están dividiendo 3 menos 30 llegaríamos a que 2 es 2 elevado a cero pues aquí como esto es igual esto y esto nos da 1 y esto nos da 2 elevado a cero podemos concluir que entonces 2 elevado a cero es 1 cualquier número elevado a cero es uno aquí si me preguntaran cuánto es 2 elevado a 0 pues ya por esta definición que saben música aunque vamos de demostrar porque de dos maneras sería uno mil elevado a cero uno también [Música] a cualquier número elevado a 0 1 aquí evitando que sea distinto de cero recordando así que sin ninguna dificultad si alguna vez nos ponen algún ejercicio trampa en el cual nos ponen aquí un número muy grande muy grande muy grande y eso lo suelo hacer yo elevado a cero tranquilos cuánto da uno aquí tenemos que cualquier número elevado a un exponente negativo va a ser igual a 1 partido de ese número elevado al exponente en positivo esto es una notación es una manera de expresar cuando tengo un una potencia que está en el denominador la puedo expresar así si tengo 2 bueno en este caso al revés si tengo observada menos 3 es 1 partido y 2 elevado a 3 y vamos a entender ahora intentan entender por qué de dónde viene esto si tengo 2 elevado a menos 3 este negativo más intentar conseguirlo con una división recordad que cuando tenemos división voy a poner aquí ^ m ha elevado a n es decir potencias de misma base que se dividen escribo esa base y restó exponentes veremos ahora de dónde vienes pues vamos a hacer esa división ya sabes división fracción lo mismo vamos a poner aquí una potencia con base 2 de manera que a restar los exponentes me salga menos 3 por ejemplo uno y aquí 4 vamos a expresar esto como potencias de misma base de manera que consigamos que sea uno menos 3 lo conseguimos sí porque al restar por 11 menos cuatro me dará menos 36 al restar exponentes consigo que me dé menos 3 y aquí sí expresó esto si desarrollo esa potencia aquí tengo 1234 2 elevado a 4 es el 2 x veces 2 elevado a 1 es el 2 una sola vez si ahora me dedico a tachar esos factores iguales que tenga arriba y abajo recordad que aquí si está hecho todo tanto el numerador como el denominador no me queda un 0 es un 1 porque es 2 por 1 1 2 por 0 2 me quedaría un 1 en el numerador y en el denominador que me quedaría 2 elevado a 36 hemos llegado a lo mismo 2 elevada mestres efectivamente es 1 partido es elevado a 3 pero suficiente con que tengáis en cuenta que esto es una anotación es una manera de expresar cuando tengo en el denominador una potencia si la quiero quitar de su denominador la expreso con ese negativo en el exponente vamos a ver porque cuando multiplicamos potencias de misma base se suman los exponentes es lo mismo que poner esa misma base y sumar los exponentes o cuando dividimos potencias de misma base será tan sencillo como pone esa base y la resta de los exponentes porque se cumple esto no es arte de magia al final es entender qué es una potencia y ver si yo tengo dos elevado a tres y desarrollo esa potencia tengo 12 y 332 es multiplicándose por otros dos dosis pues en el fondo cuántos doses tengo tengo 52 es al final por eso es lo mismo que decir a más fácil si tengo 32 es de aquí y con voy a añadir porque se sigue multiplicando estos 22 es es lo mismo que 2 elevado a 3 más 2 y terminó antes de observada 5 15 porque cuando las potencias tienen exponentes pequeños es fácil hacerlo así pero para que sea cuando se nos complica la situación y tenemos aquí imaginaos un 39 mil 30 doses y luego aquí 100 doses por ejemplo cuatro exponentes son grandes se nos complica la cosa y ésta nos ayuda esta manera de llegar a ello mucho más fácil simplemente con sumar los exponentes ya lo tengo solucionado así que mucho más fácil luego ya si nos pidieran calcular el valor de la potencia por 2 elevado a 5 lo calcular y amos incluso en muchos casos dejan ya a partir de aquí usar calculadora pues sin ningún problema lo resolvemos y aquí porque se resta vamos a ver aquí me dice eso que restamos exponentes entonces estaríamos tres menos dos aliados vamos a ver de dónde viene eso si yo desarrollé esta potencia en el numerador tengo un 32 es multiplicándose y esta potencia en el denominador ya sabéis que puede simplificar arriba y abajo los factores que tenga iguales tengo un 2 arriba y un 2 abajo paul ya está se me puede ir tengo otro aquí y otro aquí también es que me queda al final un 2 arriba entre que aquí un 12 entre 1 es 2 anna es lo mismo que decir 2 elevado a la resta 3 que le estoy restando 2 porque son los que tienen en común en el fondo con esta resta estoy mentalmente tachando esos 2 es lo 3 - 2 a 2 elevado a 1 que es lo mismo veis vamos a lo mismo pero mucho más rápido por eso si nos aprendemos al final estas maneras de llegar más rápido a ese resultado pero que sepáis siempre dónde viene no son arte de magia no son recetas sin más tiene todo un sentido como podéis comprobar vamos a ver ahora porque cuando tengo la potencia de una potencia es lo mismo que multiplicar esos exponentes tengo dos elevada tres elevado a 2 esto quiere decir que tengo el 2 elevado a 3 multiplicándose 2 veces entonces aquí que sucede tengo 32 es vamos a desarrollarlo aquí tengo 1 1 2 y 3 lo voy a poner entre paréntesis aunque no es necesario pero para que veáis que viene de este 2 elevado a 3 por este 2 elevado a 3 también en total cuántos doses tengo en total tengo 62 explotando diría 2 elevado a 6 por eso es el 3 por 26 entonces por qué escribimos entonces esta propiedad porque se cumple que efectivamente este n son las n veces que se repite es exponente m llegaríamos más fácil en vez de hacer todo esto diciendo mamés en la propiedad de que si tengo una potencia de una potencia es lo mismo que poner esa base multiplicando 3 por 2 que es 6 lo voy a poner todo aquí para que os quede clarito 3 por 2 multiplico esos exponentes inmediatos elevada 6 mucho más fácil esto que todo esto verdad pero no pasa nada si alguno en algún momento tiene que escribir todo esto porque nos acuerda si sabéis lo que es una potencia lo tenéis en vuestras manos no os lo creéis por saber o simplemente la tabla de propiedades a veces que no la sabéis muy bien cómo funciona y se puede olvidar por utilizando esa memoria sin más si sabéis hacer una potencia sabéis hacer esto y sabéis hacer esto lleváis el resultado también pero que entendáis de dónde viene no es una receta sin más tiene un porqué y aquí porque cuando tengo a algo elevado a un número entre a otro algo elevado a ese mismo número es lo mismo que escribir esa fracción todavía elevado al número vamos a ver si se cumple con este 10 elevado al cuadrado partido 5 elevado al cuadrado según esto es lo mismo que 10 entre 5 elevado al cuadrado que si yo lo sigo desarrollando me sale 10 entre 5 que es 2 y 2 al cuadrado es 4 se ve si vas a ver si efectivamente osea esto es el camino rápido siguiendo la propiedad si hubiéramos desarrollado 10 al cuadrado si lo hubiéramos hecho por este camino de aplicar la propiedad decimos 10 al cuadrado es 100 vale 5 al cuadrado es 25 y tiene entre 25 es 4 anga hemos llegado a lo mismo hemos llegado a 4 claro aquí nos ha salido fácil porque os dé un poco el truco he pensado el ejercicio apuesta para que no salgan ni decimales de nada y claro porque si aquí me sale 2 por ejemplo y aquí un 32 entre 3 aquí más hay decimales al elevar lo voy a perder decimales etcétera que si vais te funciona siempre pues con cualquier número que tengáis aquí en esta división nos importe que una edad la cuestión es que llegamos al resultado dividiendo y poniendo esa división elevada a ese exponente que tienen en común suficiente con eso ya nos piden expresar lo calcularlo pues ya podríamos calcularlo de esta manera pero para que veáis un camino mucho más rápido al final las propiedades tenemos que verlas como eso como oportunidades de hacer el ejercicio más rápido pero claro que tienen un porqué detrás que a lo mejor no lo vamos a desarrollar entero pero sí que es bueno por lo menos una vez intenta entender de dónde viene cómo estamos haciendo ahora una potencia es rojo una suma de factores iguales hacen una multiplicación de factores iguales amarillo una suma de sumandos iguales vale es una multiplicación de factores iguales lo hemos dicho antes multiplicación de factores iguales lo digo porque aquí a veces os equivocáis con la suma y dejar claro que no que es una multiplicación verdadero falso el exponente de una potencia nos indica el número de veces que se multiplica el número de la base verdadero o falso verdadero eso es el exponente 3 al cuadrado más 3 al cubo es igual a 9 36 ó 15 36 porque cuidado aquí la tentación es es decir pues 3 al cuadrado más 3 al cubo sumo exponentes 2 3 elevado a 5 no cuidado porque eso es si fuera una multiplicación y si es una suma no efectivamente como bien habéis hecho la gran mayoría antes al cuadrado que es 9 más 3 al cubo que el 27 sumamos y llegamos a ese resultado verdadero o falso puntos dobles atentos 2 elevado al cubo menos 2 elevado al cuadrado es igual a 2 elevado a 3 menos dos es igual a la resta de exponentes como lo veis esto es falso falso cuidado cuidado esas personas que habéis dado a verdadero eso solo se cumpliría si fuera una división si tuviéramos 2 elevado a 3 entre 2 elevado a 2 ahí sí que restó exponentes en una resta no es un error común estoy escribiendo aquí errores comunes que os suceden para que no os hagáis para que si el error lo hacéis aquí luego no lo hagáis en un examen por ejemplo o que ya os quede claro a partir de este cajón puntos dobles resuelve atentos puntos dobles interesante esta está es muy intensa ay ay ay ay ay a la roja vamos a intentar entender por qué era la roja vale vamos a pensar juntos a ver el 2 elevado a 9 de arriba está claro pero el 2 elevado al 9 de abajo si tenemos elevado a 929 es igual a 2 elevado al 9 por 2 entonces puedo tachar 2 elevado a 9 de arriba conservador abajo y me queda arriba 1 y abajo un 2 vale lo acabo de explicar ahora en el aire hacerlo intentar hacerlo ahora para que veáis que efectivamente se cumple que es un partido de se le va al 9 perdón lleva de billion 1 partido de 21 partido de 2 sería la solución verdadero o falso puntos dobles todo eso atentos es igual a todo eso no venga 3 elaborado por 2 elevada menos 4 partido todo ello de 3 álava 5 por 2 elevada 3 es igual a 1 partido de 3 grava 3 por 2 elevado a 7 verdadero falso fijaos bien los exponentes es una división lo que pasa es que aquí bueno al ser en línea la notación bueno es más difícil para esas divisiones no esas fracciones pero tenemos numerados y denominadores que podemos tachar que no eso es verdadero claro que sí porque vamos a ver más y fijarnos en el numerador tenemos reservada 2 x 2 elevada menos 4 2 elevado a los 4 los podemos convertir en 2 elevado a 4 pasando en el denominador dos abajo tendríamos 2 elevado a 4 por 2 elevado a 3 que sería 2 elevado a 7 abajo por eso tengo un 2 elevado a sitios elevados que tienen denominadores correcto y luego ese 3 elevado a 2 con ese 3 elevado a 5 lo tachamos y nos queda abajo 3 3 y arriba sólo nos quedaría un 1 por lo tanto efectivamente se cumple esa igualdad verdadero o falso that agachaban 25 elevado a 3 elevado a cero elevado a 2 es igual a 25 elevado a 6 verdadero o falso muy buena falso claro que sí hombre la mayoría haciéndolo bien porque es falso error típico que veo yo cuando veo estos ejercicios con potencias decís 3 por 0 por 2 es 6 claro porque veis potencias de una potencia o sabéis muy bien que hay que multiplicar exponentes vale pero resulta que si os olvida multiplicar y hace esas cosas pero como ven aquí no lo habéis hecho mal así que enhorabuena muy bien 3 por 0 por 2 no es 6 es 0 entonces el resultado de esta sería 25 elevado a 0 que como hemos explicado una potencia elevada a cero es 1 sea el resultado sería 1 o por el 25 0 pero no 25 elevado a 6 nada que ver y la última a ver cómo queda el podio el resultado de 5 al cuadrado es 52 25 7 está también la ha puesto por una razón efectivamente 25 quien después responde veis 6 ha habido gente ha habido gente que ha respondido la roja porque ese es el error típico cuidado chicos potencias no es multiplicar la base por el exponente no es 5 por 2 es que ese 5 se multiplica dos veces el mismo 5 por 5 que es 25 así cuidado con ese error que es muy muy muy frecuente y además os comento una cosa lo sabéis porque sabéis lo que es una potencia pero a veces por las prisas sobre todo en operaciones combinadas por ir rápido multiplica jce va a ser exponente y cometes el error así que ojo con esto porfa que me da mucha rabia porque ya os digo muchos si lo sabéis pero por los nervios o por la rapidez comentéis ese error así que tener cuidado y vamos al podio venga a ver qué tal ha quedado el puesto 3 para benja el puesto 2 para david y el puesto 1 para tanto tachán [Música] no es enhorabuena cuarto puesto para alejar y quinto puesto para de la enhorabuena enhorabuena a los que habéis llegado al podio enhorabuena a todos que habéis jugado y nada espero que hayáis disfrutado y sobre todo que hayáis aprendido que para eso lo hacemos y hasta aquí el vídeo de hoy si te ha gustado el vídeo dale me gusta y compártelo suscríbete a este canal y sígueme en mieres sociales si quieres estar al tanto de nuevos vídeos y directos que tengas un buen día y nos vemos en el próximo vídeo chao