CASTILLOS DE FRACCIONES 🏰👻 con Potencias y Radicales

este tipo de ejercicios es lo que se conoce como castillo de fracciones con potencias si hay raíces con radicales también para hacer este tipo de ejercicios es fundamental saber hacer muy bien operaciones con fracciones con potencias y con radicales Así que te recomiendo que si necesitan pasar algún tipo de operaciones porque a lo largo del vídeo no te queda muy claro veas en mi canal todos esos vídeos que tengo tengo vídeos de operaciones con fracciones de las potencias con sus propiedades y también de radicales vamos a empezar aquí como vemos tenemos esta fracción cuyo numerador y denominador son Estos factores y además están expresados en potencias pues vamos a ver cómo ir calculando además con este tipo de ejercicios podemos tener dos tipos de preguntas que nos digan dos tipos de ejercicios que nos digan que expresemos esto como una única potencia o que nos pidan calcular el valor vamos a intentar expresarlo en potencias más sencillas para ello es muy importante intentar ver si alguno de los números que hay en la base Son compuestos ya sabéis que los números compuestos son aquellos que tienen más de dos divisores o que se pueden expresar en factores primos vemos aquí el 9 y el 4 el 9 yo lo puedo expresar como 3 elevado al cuadrado y el 4 como 2 elevado al cuadrado y que consigo con esto que aquí tengo dos dos de base y aquí tengo un 3 que si esto lo expresó en tres yo luego podré Juntar todas esas potencias Entonces primero hacemos esto que acabo de decir otra cosa que podemos ir haciendo es si tengo una Potencia de otra potencia debemos conocer que cuando tengo esto puedo multiplicar los exponentes 3 por 2 6 por 3 al cuadrado y ahora este 9 lo vamos a expresar en 3 elevado al cuadrado y a su vez está elevado a 3 Ahora aquí 2 elevado a la cuarta por 3 elevado al cubo por este 4 que lo puede expresar como 2 al cuadrado porque 2 por 2 es 4 elevado a su vez al cuadrado de aquí qué puedo hacer la potencia de la potencia y tengo dos alas esta por 3 al cuadrado por 2 por 3 3 elevado a 2 por 3 que 6 cuidado que aquí un error típico es cuando no entendéis De dónde viene esto sumar porque ya me abulió ya no sé si es sumar ya no sé si es multiplicar entonces Muchas veces veo yo dos más tres y pondríais 3 elevado a 5 eso sería erróneo vale 2 elevado a 4 por 3 al cubo y ahora La potencia de la potencia 2 por 2 4 2 elevado a 4 ahora según la propiedad de las potencias que me dice que cuando tengo una multiplicación con misma base puedo sumar exponentes vamos a ir juntando aquellas potencias con misma Base El numerador por un lado y el denominador por otro venga en el numerador tenemos dos elevado a 6 y este 3 lo vamos a hacer marcando este 3 al cuadrado por 3 a la sexta lo podemos expresar como 3 elevado a 2 + 6 recordamos que con misma base sumamos exponentes Cuando tenemos esa multiplicación y aquí puedo juntar Tenemos aquí la misma base multiplicando se verdad pues ponemos la base y sumamos exponentes 4 + 4 por 3 al cubo sala 2 elevado a 6 sumamos 3 elevado a 2 + 6 8 partido de 2 elevado a 4 + 4 que me sale También 8 por 3 al cubo y ahora aquí qué es lo que tengo esto es una división verdad dos elevado a 6 entre 2 elevado a 8 cuando tengo una división de potencias con misma base resto exponentes o lo que es lo mismo cuando tacháis lo que estáis haciendo en realidad es restar exponentes Entonces nos quedaría 2 elevado a 6 2 elevado a 8 puedo simplificar los 62 es que hay aquí y si aquí quito seis doce Me quedaría 2 elevado a 2 3 elevado a 8 con 3 elevado a 3 quito Tacho 3 tachotes y me queda elevado a 5 por lo tanto tendría 3 elevado a 5 partido de 2 elevado a 2 y esto sería el si me pidieran un ejercicio expresarlo como una o dos potencias lo dejaríamos así pero si me pide calcular el valor tengo que calcular ahora ya el valor de 3 elevado a 5 que si lo calculamos es 243 y 2 elevado a 2 que me saldría 4 y este sería el resultado final de todo este Castillo para aclarar esta simplificación podemos ver los de dos maneras por ejemplo me voy a centrar en las potencias de base 2 tenemos dos elevado a 6 entre porque así una fracción sabemos que es una división entre 2 elevado a 8 podemos verlo como una resta entonces me quedaría una división en la cual el resto los exponentes más que como una resta vale Y me quedaría resto exponentes 2 elevado a -2 este 2 elevado a -2 debemos saber que es igual a poner este 2 en el denominador 1 partido de 2 elevado a 2 con el exponente en positivo entonces por eso nos queda el 2 al cuadrado en el denominador porque nos sale ese exponente negativo Sí entonces una manera de verlo es esta porque me he quedado dos al cuadrado aquí abajo en el denominador por esta razón otra manera de verlo es si tengo arriba dos veces el 6 son 6 factores iguales y abajo Cuántas veces 8 1 2 3 4 5 6 7 y 8 puedo simplificar este 2 con este 2 porque 2 entre 2 es 1 este 2 con este 2 este 2 con este dos así hasta seis veces el que me limita es el exponente menor lógicamente Entonces cuánto me queda aquí arriba nada ningún factor que esa nada en realidad no es nada vale ponía ya un cero no que me queda aquí un 1 vale porque al final dos a las 6 es lo mismo que dos a las 6 por 1 me queda un 1 Vale pero no lo voy a escribir para que os acostumbréis aunque aunque no lo veáis ahí hay un uno uno partido de dos por dos dos elevado a 2 entonces de esta manera también podemos ver por qué nos queda dos al cuadrado en el denominador vamos ahora con este otro ejercicio como vemos aquí tenemos de nuevo esta fracción con el numerador expresado de esta manera y el denominador de esta otra ahora ya nos van apareciendo más cositas con dificultad Tenemos aquí una raíz cúbica aquí tenemos una potencia con exponente fraccionario otra raíz Bueno pues vamos a ir viendo poco a poco como ya os he dicho teniendo claras las raíces como operarlas como extraer del radicando y aquí teniendo claro Cómo pasar de potencia con exponente fraccionario a raíz y viceversa Pues no hay ningún problema pero todos esos procesos hay que saber hacerlos vamos a empezar como he dicho antes mirando las bases y viendo si las podemos expresar de una manera más sencilla y efectivamente aquí tenemos el 4 y aquí tenemos el 8 que lo podemos expresar el 4 como 2 al cuadrado y el 8 como 2 al cubo Pues venga vamos a ir 4 es 2 al cuadrado pero a su vez está elevado a 5 Pues venga lo ponemos ahora 2 elevado a un tercio aquí tenemos qué es lo que tenemos Pues poco a poco este 4 que es 2 elevado al cuadrado y a su vez está elevado al cuadrado y todo lo demás aquí raíz de 2 al cubo y aquí tenemos dos al cubo que es 8 elevado al cuadrado Por cierto en este tipo de ejercicios no lo he dicho a lo mejor alguno lo hace por otro camino muchas veces hay varios caminos para llegar a lo mismo confirmar que lo tenéis bien vamos ahora a intentar una vez que hemos visto que podemos expresar todo como base 2 que por eso lo hemos hecho vamos a intentar ver qué exponente se nos queda en cada una de las potencias que nos quede un solo exponente para ello Aquí vemos que tenemos la potencia de una potencia es 2 elevado a 2 por 5 que es 10 cuidado recuerdo aquí nos sumamos multiplicamos por 2 elevado a un tercio por y ahora aquí tenemos un jalillo bastante importante dos por dos tenemos la potencia de la potencia que es 4 Pues venga solo hacemos Si eso solo hacemos una cosa por cada vez mejor hacer un proceso más largo pero ir dando un paso paso a paso no hacer pasos mentales creo que entendéis lo que quiero decir porque os vais a ahorrar posibles errores y ahora Aquí tengo esta raíz que me va a ser mucho más cómoda es expresarla como potencia con exponente fraccionario para luego poder trabajar con los exponentes si los queremos sumar o restar entonces recordamos que para ello ponemos el la base del radicando luego ponemos en el exponente una fracción en el numerador ponemos el exponente del radicando y en el denominador ponemos el número índice de la raíz que recordamos que cuando no se escribe es un dos y raíz cuadrada y ya lo tenemos expresado como potencia con exponente fraccionario y ahora aquí tenemos Potencia de potencia que multiplicamos exponentes 3 por 2 6 bien veis ya nos vamos quitando cosillas vamos ahora a dar el paso a esta resulta que tengo aquí 2 elevado a 10 por 2 elevado un tercio Y si esto lo expreso esta raíz como potencia con exponente fraccionario me va a quedar voy a poner por aquí 2 elevado al exponente en el numerador y el número índice en el denominador y a su vez elevado a 3 lo cual me va a hacer multiplicar por tres verdad ya sabéis potencia una potencia multiplicamos cuatro tercios por tres y al multiplicarlo por eso puedo simplificar este 3 con este 3 y me va a quedar 2 elevado a 4 por eso alguno lo que hace cuando ve raíz cúbica elevado al cubo tacha este 3 con este 3 cosa que puede ser un poco peligrosa lo explico además en un vídeo que tengo sobre radicales en el canal y ya Hemos llegado a que esto era 2 elevado a 4 como veis en el numerador todas las bases son dos ya vamos a poder operar con exponentes sin más y ahora aquí lo mismo todas las bases son dos Pues ahora tenemos varias maneras de varios caminos que seguir por aquí uno puede ser por ejemplo tengo por un lado estas que tienen exponente fraccionario y estas que puedo juntar de una manera más fácil y simplificar porque son pues números naturales pues vamos a ver si yo junto este 10 con este 4 como se está multiplicando potencias con misma base puedo sumar estos exponentes dos 10 + 4 además voy a marcar para que lo veáis más claro lo que estoy haciendo esta multiplicación de potencias con misma base la estoy operando estoy sumando los exponentes 10 más 4 14 y ahora me queda este también multiplicado por dos partidos o sea por 2 elevado a un tercio y ahora Aquí tengo el 2 elevado a 6 lo voy a poner aquí debajo de este y 2 elevado a tres medios lo digo porque así puedo simplificar estos 14 doce con estos 612 si lo simplifico se quito estos seis doce con los seis de aquí me quedan aquí 8 entonces he conseguido 2 elevado a 8 por 2 elevado a un tercio partido todo ello de 2 elevado a tres medios y ahora ya teniendo la misma base puedo operar con potencias con misma base recordamos que si tengo una multiplicación sumamos los exponentes 8 más un tercio Y si hay división resto el exponente de la división veis he sumado 8 más un tercio porque se está multiplicando y el restado 3/2 porque está dividiendo este 2 si hacemos esta operación que al final es operación con fracciones voy a hacerla aquí en azul aparte 8 más un tercio menos tres medios ponemos mínimo común múltiplo del denominador que es 6 entonces tengo que aquí operaciones con fracciones a tope tenemos que saber hacerlo tengo que pensar si aquí el 8 es 8 partido de 1 porque número multiplicado uno para conseguir este denominador para conseguir esta fracción equivalente 1 por 6 pues tendré que multiplicar el 8 por 6 48 más aquí tenía un 3 para llegar a 6 he multiplicado por 2 3 por 2 Pues también numerador uno por dos y ahora dos para llegar al 6 he multiplicado por 3 también multiplico por 3 en el numerador 3 por 3 9 y ahora hacemos esta operación 48 + 2 50 menos 9 41 partido de 6 y esto es el exponente entonces me queda el resultado 2 elevado a 41 partido de 6 respecto a esto en matemáticas Cuando tenemos un resultado expresado en potencia con exponente fraccionario no suele gustar mucho vamos a expresarlo Entonces como raíz cómo lo expresaríamos como raíz de potencia con exponente fraccionario pasamos a raíz como escribiendo raíz este va a ser el denominador de este exponente va a ser el número índice raíz sexta de qué de 2 elevado a este numerador a 41 y de aquí puedo extraer de este radicando sí debemos saber ya aquí extraer vamos a pensar Cuántos grupos de seis puedo hacer aquí con 412 y resulta que puedo 6 por 6 36 por 7 ya se pasa entonces puedo extraer 6 36 es traído 36 veces si este año 362 es Cuántos dosis me quedan aquí 41 menos 36 5 entonces puedo expresar este resultado como 2 elevado a 6 que es 64 raíz sexta de observado a 5 32 si me cabe si esta sería como la manera bonita de expresar este resultado de todas maneras ser que necesite repasar extraer del radicando ricas en la caja que hay en ese explico en ese vídeo lo explico en detalle vamos ahora con este ejercicio que como vemos lo que tenemos es una raíz cuarta y dentro la raíz cuarta tenemos una fracción y en el numerador tenemos una raíz y en el denominador tenemos otra raíz Entonces vamos a ver cómo podemos calcular esto tranquilo no nos asustamos vamos a identificar primero numerador y denominador numerador lo tenemos bastante claro ahí parece que por ahora no podemos hacer nada vamos a dejarlo en el denominador sí que podemos hacer algo tenemos la raíz cuadrada de 1 partido de 8 ya sabéis que cuando toda la raíz cuadrada de una fracción se puede expresar también puedes calcularlo también con la raíz del numerador y la raíz del denominador esto para qué me sirve pues para ver que la raíz de uno sí que la puedo calcular la raíz cuadrada de 1 es uno entonces aquí Me quedaría 1 partido de raíz de 8 y este raíz de 8 que está en el denominador lo puedo expresar como tu inverso que me quedaría sabéis que esto puede estar expresado de esta manera vale inverso al final es porque números multiplicaría para que me dé uno verdad ya sabéis que esto se puede expresar de esta manera y ahora esto además como lo tengo ahora en este denominador lo puedo expresar en el numerador cambiando el signo de nuevo y tendría Bueno aquí ya no ya no tengo denominador ya no necesito y ahora esto lo puedo expresar eso ya no están en el denominador ya está multiplicando en el numerador con el signo del exponente cambiado que como es elevado a 1 sería esto vale Y ahora cómo puedo seguir este 8 lo puedo expresar como dos al cubo Pues venga raíz cúbica de 2 por 8 no perdón 8 expresado como 2 al cubo y ahora para multiplicar radicales ya sabéis que debemos tener mismo número índice aquí no tengo mismo número índice tengo un 3 y un dos pero puedo conseguir índice común sí podemos saber hacerlo ya llegados a este punto y si no lo sabemos pues lo recordamos índice común pues hago el mínimo común múltiplo de ambos números del 3 y del 2 aquí hay un dos recordamos de 3 y 2 el índice común será el 6 vale Y ahora por lo que he multiplicado el 3 para que me dé 6 a eso tengo que Elevar el exponente Ah yo tengo que Elevar lo que tengo en el radicando es decir 3 por 2 6 pues elevo lo que hay aquí a dos y ahora en este caso para conseguir un 6 Aquí he tenido que multiplicar el 2 Y aunque no lo vemos es un dos lo he tenido que duplicar por tres puesto que Elevar todo lo que hay aquí dentro por tres lo tengo que llevar a tres entonces me quedaría Esto vale ahora esto Qué puedo hacer ya sabéis que si tengo la raíz de una raíz multiplicó números índices y aquí que tengo dos al cuadrado por 2 por 2 elevado a 3 por 3 tengo potencia una potencia 3 por 3 9 tendría 2 elevado a 9 y como tengo bueno lo voy a escribir venga que quiero que os enteréis bien pasito a pasito vale Este 9 del 3 por 3 OK ahora tengo multiplicación de potencias con misma base dejo la base y sumo exponentes 2 elevado a 11 entonces aquí Bueno lo puedo dejar así o el 2 elevado a 11 lo calculo raíz 24 de porque aquí no puedo extraer ningún ningún factor no puedes traer nada pues ya me quedaría así o esos dos elevado a 11 que si lo calculáis os sale 2048 sería resultado la raíz cuarta de no la raíz 24 de este número empezamos Cuál es el resultado va a parecer una imagen 5 partido de uno entre cinco partido de uno entonces marcar el resultado que creáis que es correcto pensar bien a veces las prisas traicionan Efectivamente es uno uno pero vamos a ver muy bien que habéis la mayoría los que no habéis acertado lo habéis hecho por voleo por favor por favor a ver cinco partido de uno es cinco vale si tengo que repartir cinco caramelos a una persona cuántos va a tocar por persona a esa persona cinco caramelos les va a tocar no y abajo en el denominador 5 partido de uno también es 5 esa fracción final 5 entre 5 1 Sí o sí que este era el fácil hombre ahí ese ganador creo que sí es por el nombre que has ganado es el nombre te da suerte y luego también otra manera de verlo chicos si tengo lo mismo en el numerador que en el denominador me da uno no digo yo digo yo pero bueno hay que pensar más chicos Y ser menos mecánicos venga esta vale doble Cuál es el resultado y vale doble eh está entiendo que falles un poco más te hace falta lápiz tenéis un minuto venga muy bien muy bien estoy muy orgullosa de vosotros pero vamos rápidamente raíz de 25 partido de 8 entre 3 partido de 9 por ahí 25 es 5 5 octavos entre tres novenos ya sabéis dividir deberíais saber dividir fracciones y os saldría ese resultado simplificado vale Cuál es el resultado de esta venga luego viene otra con doble puntuación Entonces esto se va a mover bastante No perdáis la esperanza aquellos que vayáis peor todo lo que se divide entre 0 es 0 Uff lo que acaba de decir ahí vea cuidado con eso Una cosa es tener celo en el numerador y otra cosa es tener cero el del denominador muy bien mayoría aplastante estoy orgullosa de vosotros creo que sí 0 muy bien feliz día venga edulis te mantienes ahí venga que vamos ahora por una que es doble puntuación aquí hay que darlo todo vale es mejor tardar y hacerlo bien que vale doble venga venga súper difícil esta madre mía Qué difícil la he puesto pensad venga un poquito pensad un poquito venga eso es porfis ahí la mayoría bien cinco partido de cinco es uno ocho partido ocho es Uno Vale uno entre uno uno venga siguiente muy bien habéis subido un montón Hay que aprovechar estas que valen doble la sexta la última vale doble también venga raíz cúbica de 24 es lo mismo que 2 por raíz cúbica de 3 esto es extraer de factores del radicando lo tenéis en mi vídeo de radicales muy bien La mayoría lo que pasa es que una mayoría Bueno un poco no sé por qué le vamos a mostrar contenido y en mi foto muy bien vale porque raíz cúbica de 24 es igual a 2 raíz cúbica de 3 a ver el 24 es 6 por 4 No si lo factorizamos bueno 8 por 3 mejor es 2 al cubo por tres de ese 2 al cubo se puede extraer de raíz cúbica como un dos y nos queda dentro del 3 vale por eso es esperamos todo aquí explicado en el aire no ayuda tanto como ver mi vídeo Entonces mi vídeo de radicales donde lo explico en uno de los apartados explico cómo es nuestra erradicando y ya te queda clarísimo vale Y practicáis que es lo bueno Qué pasa por la última que vale doble también bueno cine parece que ha venido aquí para quedarse muy bien Enhorabuena por la última es cierta la siguiente igualdad tenemos ahí con exponentes negativos como hemos visto antes es cierta y además esta no sé si hacerla en la pizarra eso es verdadero habéis votado la mayoría falso vamos a ver qué es lo que sucede aquí me la voy a apuntar esta y la vamos a hacer en la pizarra vale la punto un momento a ver que tengo vamos a entender la última pregunta del kahoot en la cual nos decía que esta igualdad era verdadera vamos a ver por qué vemos aquí estas potencias con exponente Negativo si hacemos la inversa las podemos cambiar el signo del exponente si las cambiamos de lugar es decir este para poner el signo positivo Lo pondré en el numerador y este para poner el signo positivo Lo pondré en el denominador ahora sí tenemos potencias con misma y multiplicando se puedo sumar los exponentes 3 + 47 y aquí nos quedaría 2 al cubo por 5 al cuadrado y aquí como vemos tenemos estas que tienen misma base se están dividiendo por lo tanto puedo simplificar si aquí tengo dos cinco o sea aquí 7.5 si quito estos dos cinco de aquí si aquí le quito 2/5 me quedaría 5 elevado a 5 por lo tanto lo que bien hemos escrito aquí arriba 5 elevado a 5 partido de 2 al cubo y esta era la razón por la cual esa igualdad es correcta y hasta aquí el vídeo de hoy si te ha gustado el vídeo dale a me gusta y compártelo suscríbete a este canal y sígueme en mis redes sociales Si quieres estar al 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