POTENCIAS Y RAÍCES 🔢 Ejercicios Típicos

vamos a empezar con un primer ejercicio que es típico típico típico en los exámenes de potencias y radicales que es este que nos piden expresar como potencia única como podemos observar aquí tenemos tres potencias que se están multiplicando y tienen algo en común tienen la misma base el número 3 es la base te debemos recordar entonces aquí una propiedad de las potencias qué recuerdo que tengo en el canal explicado en un vídeo más en detalle todas estas propiedades os invito si lo necesitáis a que paséis a ver ese vídeo para entender más en profundidad si es que no habéis entrado en detalle en esas propiedades pero os la recuerdo hay una propiedad que nos dice que cuando tengo potencias con misma base imaginemos la base a y el exponente en este caso es m y en este caso es n será lo mismo que poner esa base y sumar los exponentes trasladado a nuestro ejercicio tengo la misma base Sí pues pongo esa misma base y ahora en el exponente hago la suma de todos los exponentes que recuerdo que aquí es un 5 ahora sumo este 3 y aquí el 3 aunque no tiene un número que veamos sabemos que está elevado a 1 aunque no se escriba ese uno así que ojo aquí sería el error típico que yo veo mucho error en esto que se os olvida ese uno sumamos entonces tendríamos tres elevado a 9 y aquí como no nos pide calcular No necesitamos decir algo cuanto estrés por 39 porque así hasta nueve veces multiplicado no nos pide el valor por lo dejaríamos así lo único que nos pide es expresar como potencia única hemos conseguido expresarlo en una única potencia Sí pues ya terminaríamos aquí el ejercicio si me pidiera además y Calcula su valor pues tendría que hacer el paso de calcular esta potencia veamos ahora qué pasaría con una división si lo que tenemos es una división Ahora nos decían que si tenemos división de potencias con misma base lo que hacemos Es restar los exponentes además quien quiera ver el porqué de cada una de estas propiedades también lo explico en ese vídeo que he comentado con anterioridad tenemos misma base que se divide entonces ponemos esa base y ahora lo que hacemos con los exponentes lo restamos 7 - el 2 entonces nos quedaría menos 5 elevado a 5 y ahí ya lo expresado como única potencia por lo tanto ya he terminado este apartado vamos ahora por este recordamos otra propiedad que nos decía que si tengo la potencia La potencia de una potencia será lo mismo que multiplicar esos exponentes es decir aquí tengo que multiplicar 2 por 3 menos 4 elevado todo ello a 6 vamos ahora con esta aquí lo que tenemos es en realidad mismos exponentes ahora cambiamos antes era mismas bases misma base misma base ahora tenemos mismo exponente el exponente es 2 2 2 2 lo que nos cambia es la base Entonces en este caso lo que se deja es el exponente Y qué hacemos con las bases las multiplicamos multiplicamos aquí 3 por 2 que nos saldría 6 negativo menos 6 por 6 menos 36 aquí tenemos ya una variedad tenemos una multiplicación elevada al cuadrado Tenemos aquí una Potencia de una potencia y además todo ello que se divide vamos paso a paso Primero aquí tengo esta multiplicación con misma base entonces tengo que hacer lo de pongo la misma base ahora como es multiplicación sumo los exponentes 3 + 2 5 y está todo ello elevado al cuadrado siguiente paso tengo una Potencia de una potencia que acabo de ver que multiplicó exponentes pues 6 elevado a 4 por -2 a -8 podemos continuar porque aquí tengo la potencia de una potencia 5 por 2 que sería 10 venga lo voy a poner ya aquí 5 por 2 10 y ahora como tengo potencias con misma base que se dividen dejo esa base y al ser una división resto y cuidado aquí resto exponentes 10 menos -8 otro error típico que veo yo que al ser este negativo ya os creéis que aquí está esa resta ese menos de la resta no es 10 menos y ahora este número negativo menos 8 que sería en realidad 10 + 8 entonces 6 elevado a 18 y vamos a por este último que Aparentemente solo tenemos la misma base en estas dos potencias sin embargo aquí parece que no tenemos la misma base Pero podemos conseguir expresar el 8 como una Potencia de base 2 por supuesto debemos saber que 8 lo podemos expresar como 2 elevado al cubo Pues venga vamos a ponerlo porque así ya nos facilita la operativa si escribo ese 2 perdón si Expreso ese 8 como 2 elevado al cubo puedo aplicar aquí esa propiedad de potencias con misma base que se multiplican pongo esa base y sumo los exponentes que recuerdo que este 2 tiene aquí un Uno Vale cuidado que no se os olvide ese uno cuatro más el 1 de este 2 más este exponente que es 3 sumamos y nos llevaría 4 + 1 5 + 38 y así sería como haríamos este tipo de ejercicios que nos piden expresarlo como una única potencia es decir varias potencias expresadas en una sola veis y ya hubiera finalizado nuestro ejercicio vamos a realizar ahora este ejercicio en el cual vamos a expresar las raíces como potencia con exponente fraccionario y las potencias que tengan exponente fraccionario vamos a expresarlas como raíces Cómo se haría Tenemos aquí esta raíz lo que hay dentro se llama radicando escribimos Y radicando eso Será nuestra base a lo que estoy elevado nuestro radicando que en este caso es el número uno está elevado a 1 será el numerador de ese exponente y el denominador será el número índice que en este caso al ser raíz cuadrada aunque no se escriba debemos saber que es un dos y ya Lo tendríamos esa raíz expresada como potencia con exponente fraccionario vamos ahora por esta venga el radicando lo ponemos como Base El exponente del radicando que es en este caso un 1 en el numerador y el número índice en el denominador veis qué sencillo vamos a por esta el 2 será la base el exponente será el numerador y el número índice será el denominador así de sencillo me habéis hecho antes la pregunta el que haya hecho la pregunta antes aquí tenéis Cómo se hace este tipo de ejercicios vamos a hacer al revés ahora tenemos la potencia con ese exponente extraordinario y la vamos a expresar como raíz tenemos 6 elevado a un cuarto pues escribimos el 6 dentro de una raíz el número uno es A qué número está elevado el 6 como está elevado a 1 no tengo por qué escribirlo y el número 4 será el número índice de la raíz Ya lo tenemos y ahora aquí en este caso escribo la raíz escribo el 3 este el numerador será el exponente del número 3 y el denominador será el número índice de nuestra raíz y así sería Cómo realizaríamos este tipo de ejercicio que nos piden siempre o expresar raíz como potencia con exponente fraccionario o al revés vamos ahora también con un ejercicio típico que además es muy bueno porque nos va a ayudar a facilitarnos la operativa en muchos casos y es aprender a simplificar radicales aquí tenemos esta raíz de 2 elevado a 4 y aquí raíz cuarta de 5 elevado a 6 puedo ver esta raíz ahora que acabamos de ver que se puede expresar como como potencia puedo verla como una potencia con exponente fraccionario recordad en el numerador el exponente y en el denominador el número índice si lo veo así puedo ver que esta fracción la puedo simplificar puedo dividir entre dos hago la irreducible y resulta que al dividir entre 2 4 entre 2 me queda ya un dos Entonces ya sé que el resultado de esta raíz va a ser 2 elevado a 4 es decir 4 este también pues puedo recordarlo directamente viendo la raíz porque aquí hay un 4 aquí voy a escribir el 2 para verlo mucho mejor y entre este 2 y este cuadro puedo simplificar puedo dividir almos números entre dos Entonces lo hago y al dividir entre dos o muchos también lo que hacéis es en vez de hacer eso decís a grupo estos cuatro dosis en grupos de lo que me diga aquí aquí me dice en grupos de dos No pues tengo 4 dosis lo puedo ir agrupando en grupos de dos dos elevado a 2 por 2 elevado a 2 Estamos de acuerdo en que 2 elevado a 4 es lo mismo que esto verdad lo único que he hecho es agrupar esos 4 dosis en grupos de dos de dos en dos veis entonces cada vez que tenga un grupo lo extraigo de la raíz este 2 lo he extraído este 2 también os traigo y como ya no me queda nada dentro de la raíz lo dejo Me quedaría 2 por 2 que es 4 veis llegamos a lo mismo vamos a pensar cómo sería me voy a comentar aquí otro ejemplo cómo sería bueno aquí no lo vamos a hacer aquí con este lo mismo que hemos hecho antes puedo verlo como potencia con exponente fraccionario 5 elevado a 6 partido de cuatro vale me seguís hasta aquí y ahora puedo simplificar esta fracción puedo vivir entre dos arriba y abajo entonces me quedaría 5 elevado a tres medios y esto lo vuelvo a poner en como raíz y me quedaría raíz de 5 este 3 va a ser el exponente del 5 y este 2 será la raíz cuadrada o sea simplificado esta raíz en esta le he puesto mucho más sencilla veis y es la misma otra manera de hacerlo es lo que iba a decir antes vemos aquí que tenemos este 4 que en realidad es 2 * 2 y 5 elevado a 6 que lo puedo expresar como 2 por 3 y aquí puedo simplificar este 2 con este 2 y que me queda entonces raíz cuadrada y este 2 no necesito ponerlo de 5 elevado a este 3 veis que Hemos llegado a lo mismo con dos caminos distintos entonces aquí veis lo bueno de ir conociendo Pues que una raíz se expresa como potencia Entonces lo puedo ver así o que lo puedo simplificar directamente de esta manera también es bueno saber expresar los números como factores primos porque eso me ayudará a simplificar de una manera a lo mejor más rápida veis diferentes maneras al final de llegar a lo mismo vamos a realizar ahora estas operaciones con radicales para lo cual Necesito saber que para sumar o restar debo tener las raíces deben ser iguales es decir raíz cúbica de 4 no puedo sumar con este porque tiene raíz cúbica de 4 aunque tenga 6 fuera lo de fuera el factor no me importa y aquí sin embargo podemos ver en este caso raíz cúbica de 4 en este caso también lo tengo en este sumando pero ahora aquí en este término no tengo raíz cúbica de 4 o si si pensamos un poco si lo tengo no está directamente pero con que opere este 2 elevado a 4 ya lo tengo Perdón esto 2 elevado a 2 es más lo voy a operar ya 2 elevado a 2 tendría ya esa raíz que sabemos que debe ser igual para poder operar y ahora una vez que lo tengo que tengo esas raíces iguales ya puedo sumar Y restar esto es objetivo que debemos conseguir para sumar y restar para multiplicar dividir debemos conseguir otro objetivo Qué hago entonces el número que tenemos aquí fuera de la raíz lo opero aquí si no tengo ningún número está multiplicando por uno vale uno más este que es el 6 menos este que es el 7 hago esa operación y pongo la raíz esa raíz igual que tienen los términos hago esta operación uno más seis siete menos siete cero Me quedaría 0 raíz cúbica de 4 que 0 multiplicando a esto me daría 0 Este es un ejemplo un poco peculiar verdad que nos de cero pero imaginemos vamos a cambiar A lo mejor un valor vas a hacer ahora me voy a inventar otro ejercicio imaginemos que aquí hubiera habido un dos Pues aquí tendría un 2 que diría 2 + 6 8 - 7 1 aquí ya habría un 1 multiplicando bueno y Al haber un 1 multiplicando me valdría ya con escribir este resultado vale esto si fuera el número 2 lo he cambiado yo para hacer otro ejercicio aparte que no cunda el pánico siguiente tenemos raíz cuadrada de 8 tenemos raíz cuadrada de 2 tenemos raíz cuadrada de 50 y tenemos una resta y una suma Aparentemente de primeras no puedo operar Pero vamos a intentar Buscar estas raíces iguales resulta que el 8 lo puedo expresar como 2 al cubo vamos a ir factorizando los números que hay dentro de las raíces el 2 ya lo tengo expresado como dos y este 4 que está multiplicando a esta raíz de 50 y el 50 lo puedo expresar como 5 por 10 es decir 25 por 2 5 al cuadrado estoy factorizando mentalmente A lo mejor alguno le cuesta más tranquilos yo porque ya son muchos años de práctica factoriza el 50 y verás que llegas a esto y aquí tengo que saber hacer una cosa que se llama extraer radicandos que lo explico también en detalle en ese vídeo que tengo en el canal Entonces yo puedo agrupar aquí como tengo raíz cuadrada si a grupo de dos en dos tengo lo voy a hacer con otro color aquí aparte y luego lo borró aquí raíz cuadrada de 2 al cubo lo puedo expresar agrupando de dos en dos porque tengo el número índice 2 si el grupo de dos en dos tengo dos elevado al cuadrado por otro 2 vemos aquí que tengo entonces 2 elevado al cubo agrupado de esa manera de dos en dos porque es el número índice verdad Cuántos grupos de dos consigo solo consigo este Pues ese es el que sacó fuera es decir sería este 2 lo saco fuera multiplicando a raíz de 2 veis es simplificado pues ahora este esta raíz raíz de 2 al cubo lo puedo expresar como le voy a poner aquí 2 raíz de 2 menos raíz de 2 Ana ya va tomando forma ya veis que he convertido esto en esta raíz Ya sé que estas dos se pueden restar porque tiene raíz de 2 y raíz de 2 y vamos a por este lo voy a poder estar así porque tengo cinco elevado al cuadrado y aquí tengo raíz cuadrada puedo extraer este 5 pues pongo más 4 y como os traigo el 5 lo que extraiga va a estar multiplicando a lo que hay aquí fuera 4 por un 5 que es traído por raíz este 2 no lo puedo extraer porque no llego a hacer un grupo de dos que me indica aquí el número índice pues ya se queda entonces que he conseguido al final que cada término tenga raíz de 2 raíz de 2 y raíz de 2 genial Entonces ya puedo sumar y restar qué es lo que sumo o resto el número que tenga fuera multiplicando el 2 - aquí el uno que está multiplicando a raíz de 2 más este 4 por 5 más 20 y ponemos esa raíz raíz 2 dos menos uno uno más 20 más 20 21 raíz de 2 y ya tendríamos realizada esta operación con radicales ahora para multiplicar y dividir No necesitamos que sea exactamente la raíz lo único que necesitamos La Única condición es que el número índice sea el mismo este sea el mismo que este pero aquí vemos Oye aquí hay un 3 pero aquí es raíz cuadrada aquí va a haber un dos Entonces qué tengo que hacer pues conseguir ese índice común para ello que hago Busco el mínimo común múltiplo de estos dos números en este caso de 3 y 2 será 6 como es 6 Por cuánto tengo que multiplicar 3 para que me dé 6 por 2 pues entonces este número lo tengo que Elevar a ese 2 por el cual he multiplicado vale veis como he multiplicado por dos para que me dé 6 aquí añado ese 2 aquí por cuando tengo que Multiplicar dos para que me dé 6 por 3 Pues voy a conseguir entonces ese 6 pero es que si multiplico por 3 tengo que Elevar a 3 erradicando y ahora que ya tengo el índice común veis es igual pues ya puedo escribir ese índice común y dentro multiplicó los radicandos 3 elevado a 2 por 2 elevado a 8 Perdón ya estaba calculando 2 al cubo no 2 elevadas veis y ahora ya operó raíz esta de 3 elevados que es 9 2 elevado a 8 que es 8 9 por 8 72 y así sería como operaríamos Cómo realizaríamos esta operación que es una multiplicación y como veis Única condición mismo número índice si no lo tenemos cómo lo conseguimos buscando ese mínimo común múltiplo y por el número que tenga que multiplicar a eso tengo que Elevar el radicando todo el radicando quiero decir si hay aquí una operación una suma elevo toda la suma vale eso es importante aquí en la división lo mismo tenemos que conseguir el mismo número índice en este caso fácil porque entre 9 y 3 el mínimo común múltiplo es 9 o sea que este ya lo voy a tener bien escrita genial Solo tengo que pensar aquí Qué hago con el 3 para Por qué número lo multiplico para que me dé 9 lo voy a multiplicar por tres verdad pues tendré que Elevar esto a 3 Entonces ya tendría raíz novena de 32 entre raíz novena de 2 al cubo que es 8 Entonces ahora escribo me va a caber esperemos que sí la raíz novena de Esta división que la puedo expresar con una fracción ya sabéis una fracción es una división entonces tendría raíz novena de 32 entre 8 que es 4 y ya tendríamos realizada Esta división con radicales que como veis para hacer operaciones con radicales como vamos a hacer dos grupos por una dos sumas y restas para sumas y restas tiene que ser exactamente la misma raíz tiene que estar en cada término para poder sumar y restar y una vez que lo conseguimos porque a veces vas a tener que factorizar etcétera simplificar para conseguirlo además son ejercicios típicos de examen luego ya sumamos cada uno de esos números que está multiplicando a la raíz o restamos lo que toque y ponemos la raíz otro grupo si son multiplicaciones y divisiones Única condición mismo número índice si no lo tengo lo consigo de esta manera multiplicando por ese número que me haga llegar al mínimo común múltiplo y elevo el radicando a ese número solución de menos 5 al cuadrado menos cinco al cuadrado rojo 10 azul - 10 amarillo 25 verde menos 25 qué cena la mayoría ha votado bueno sí la mayoría han votado respuesta incorrecta solo 26 lo han votado bien a ver y esto me ha gustado Poner este ejercicio para explicar una cosa no la quería explicar antes para el factor sorpresa cuidado por favor si ese negativo no está dentro de un paréntesis en realidad aquí la base es 5 para que la base sea menos 5 tendría que estar el -5 entre paréntesis es decir Tendría que haber paréntesis menos 5 paréntesis y todo ello elevado al cuadrado pero si no aquí lo que está elevado al cuadrado es solo el 5 5 al cuadrado sería 25 con ese negativo delante que no está elevado el -5 todo yo entre paréntesis sí que me está indicando que la base es -5 Es decir el -5 se multiplica dos veces así que ojo cuidado con esto la primera y ya alguien se ha dado un batagazo Pero bueno veis que lo bueno que es darse batacazos a que habéis aprendido expresa como potencia raíz quinta de 3 elevado a 4 rojo 3 elevado a cuatro quintos azul 3 elevado a cinco cuartos amarillo 3 elevado a 4 y verde 3 elevado a 5 el rojo eso es muy bien habéis estado atentos Claro que sí voy a mostrar de nuevo cuál era veis pues pongo tres en la base y en el exponente el 4 en el numerador y el 5 en el denominador Calcula y esta pregunta vale dos o sea el doble venga tres quintos elevado al cubo aquí pensad primero que es una potencia o sea está diciendo que esa base que ese número lo tengo que multiplicar por sí mismo tres veces tres quintos por tres quintos por tres quintos vale venga rojo 125 partido de 27 azul 27 partido de 125 amarillo 9 partido de 15 y verde 15 partido de 9 Cuál será la correcta eso es por gran mayoría recordamos que si tengo una fracción elevada un exponente elevo tanto numerador como denominador y 3 al cubo es 27 y 5 al cubo es 125 Así que efectivamente 27 partido de 125 Cuántas soluciones tiene la siguiente raíz y aquí ponemos escribimos si es una raíz con número índice n teniendo en cuenta que n es par y además que el radicando es menor que cero es decir va a ser negativo rojo una solución positiva azul dos soluciones una positiva y otra negativa amarillo no tiene solución real y verde una solución negativa eso es no tiene solución real además pensar el ejemplo que yo he puesto raíz cuadrada de menos 25 debemos pensar un número que elevado al cuadrado nos dé menos 25 en el campo de Los Reales no tenemos ese número porque como mucho es 5 por 5 que nos daría 25 positivo o menos 5 por -5 que también nos daría 25 positivo entonces No podemos conseguir ese menos 25 si elevamos al cuadrado por lo tanto en el campo real es No encontramos Cómo dar solución a esta raíz luego tenemos los números imaginarios que ahí sí que nos ayudan a resolver este tipo de raíces verdadero o falso indica si la siguiente igualdad es verdadera o falsa muy interesante lo he dejado ahí con letritas porque a veces os asustan pero tranquilos vas a intentar identificar qué es lo que nos están diciendo por cierto esta vale el doble nos está diciendo la raíz enésima de a por B es igual a la raíz nda por la raíz ndb lo hemos visto en ejercicios de hoy pero ya con ejemplos numéricos será verdadero o será falso esta igualdad Muchas gracias por esas rosas verdadero muy bien estáis atentos Claro que sí y finalmente el podio ha quedado de esta manera primer puesto para baila venir Enhorabuena por ese primer puesto en segundo lugar ha quedado Susi te amo yo también Qué bonito y el tercer puesto pues carita triste o carita preocupada no lo sé bueno estos son los que han quedado en los tres primeros puestos pero todos habéis ganado si os lo habéis pasado bien y habéis aprendido que es fundamental Eso espero que haya sido así porque yo sí que me lo he pasado bien y hasta aquí el vídeo de hoy si te ha gustado el vídeo dale a me gusta y compártelo suscríbete a este canal y sígueme en mis redes sociales Si quieres estar al tanto de nuevos vídeos y directos Que tengas un buen día y nos vemos en el próximo vídeo