28. Cómo se representan los números complejos en el plano cartesiano

hola y bienvenidos a otro vídeo de mate fácil en este vídeo vamos a hablar acerca de la representación gráfica de los números complejos vamos a ver de qué manera podemos representarlos gráficamente para esto hay que recordar que los números reales se pueden representar en una recta si nosotros dibujamos una recta podemos identificar un punto de la recta como nuestro número cero a partir de ahí representamos hacia la derecha los números positivos todos igual de espaciados los enteros positivos y luego hacia la izquierda tendríamos los enteros negativos todos los demás números reales se representarían como puntos sobre esta recta que es una recta infinita que se extiende infinitamente por ambos lados y por ejemplo el número pi que es 3.14 15 etcétera se encontraría entre el 3 y el 4 por aquí podríamos representar el número pi el número raíz cuadrada de 2 que es 1.4 etcétera lo representaríamos por aquí entre el 1 y el 2 entonces todos los números reales pueden identificarse como puntos sobre una recta pero en esta recta no podemos representar a los números complejos no nos es suficiente una recta para representarlos para esto lo que vamos a hacer es dibujar un plano cartesiano los números complejos se representan en un plano es decir dibujamos otro eje un eje vertical y hacia arriba tenemos a los positivos hacia abajo a los negativos los números complejos se van a representar como puntos en este plano cartesiano al eje horizontal que normalmente llamamos eje x le vamos a llamar eje real cuando estemos hablando de números complejos porque como ya dijimos en este eje es donde se representan los números reales y al eje vertical le vamos a llamar eje imaginario en un momento va a quedar claro porque se le llama de esa manera bueno vamos a ver con ejemplos cómo es que representamos números complejos y para esto vamos a tener dos maneras de entender a los números complejos gráficamente hay dos formas de interpretarlos la primera forma como ya mencioné se interpretan como puntos en el plano cartesiano aquí hay que recordar que el número complejo a más b en realidad se define a partir de r 2 eso ya lo habíamos visto en un vídeo anterior cuando dijimos cómo se definen los números complejos habíamos visto que se definen a partir del conjunto r 2 simplemente con una multiplicación especial que es la que convierte a ese conjunto en un campo y así es como se crean a los complejos entonces si recordamos lo que vimos en aquel vídeo habíamos visto que el número a más b por i representa al número a b que es un elemento de r2 este punto nosotros ya sabemos cómo representarlo en un plano hay que recordar que la primera coordenada es la coordenada x la segunda coordenada es la coordenada y y simplemente pues la ubicamos en el plano recorriendo a unidades en el eje x y b en el eje por ejemplo para representar el número 2 más 3 x y las coordenadas del punto son 2,3 fíjense que siempre la primer coordenada es la parte real del número complejo mientras que la segunda coordenada es la parte imaginaria del número complejo entonces vamos a representar este número representamos en el plano cartesiano el punto 232 en x 3 en g y aquí tenemos nuestro número 2 + 3 por otro ejemplo para representar el número menos 2 y fíjense que este número solamente tiene parte imaginaria es un número imaginario puro la parte real de este número es cero porque no aparece por aquí ningún otro número entonces su parte real es cero su parte imaginaria es menos 2 por lo tanto este número se va a identificar con el punto cero coma menos 2 la parte real es 0 la parte imaginaria es menos 2 el punto cero menos 2 se ubica 0 en x así que va a estar sobre el eje vertical menos dos en ye o sea aquí abajo entonces por eso vemos por qué se le llama a este eje eje imaginario sobre este eje se representan los números imaginarios puros sobre el eje horizontal los números reales puros y los demás números los que son combinaciones de una parte real con una parte imaginaria van a quedar en lo demás del plano cartesiano si por ejemplo queremos representar el número real 3 su parte real es 3 su parte imaginaria es 0 porque no aparece y así que este número tendría como coordenadas 3 0 siempre la primera coordenada es la parte real la segunda coordenada es la parte imaginaria si lo grafica mos aquí nos movemos 3 en el eje x 0 en el eje y así que no nos vamos ni hacia arriba ni hacia abajo sino que nos quedamos aquí y aquí estaría representado el número 3 fíjense cómo queda sobre el eje horizontal que es el eje de los números reales la recta que empecé dibujando hace un momento entonces los números reales puros quedan sobre el eje horizontal los números imaginarios puros quedan sobre el eje vertical y el resto de números complejos van a quedar en alguno de los cuadrantes bueno esta es una forma de interpretar a los números complejos gráficamente la segunda manera de interpretarlos es como vectores quienes ya hayan llevado curso de cálculo vectorial recordarán que r2 es también el conjunto de los vectores de dimensión 2 que tienen componentes en los números reales entonces por esta misma razón es que podemos entender a los números complejos como vectores y podemos entender también las operaciones de suma y resta siguiendo las mismas reglas que se seguían en el caso de los vectores simplemente se está extendiendo el concepto de del conjunto de vectores de r2 para incluir una multiplicación que convierte a ese conjunto en un campo como ya vimos en un vídeo anterior entonces por ejemplo el número 2 + 3 y lo podemos entender como él 23 y también como el vector 23 es decir el vector que tiene componente horizontal 2 y componente vertical 3 en este caso el vector ser se representaría gráficamente como una línea que empieza en el origen y termina en este punto y eso lo indicamos con una flecha que es con la que representamos al vector el vector -2 y empezaría en el origen y terminaría en el punto donde representamos al menos 2 y y el vector 3 que sería el 30 sería este vector horizontal empieza en el origen y termina en el punto con coordenadas 30 entonces esa es la otra manera de interpretar los números complejos como vectores en algunas ocasiones vamos a interpretarlos como puntos y en otras ocasiones nos va a convenir más entender los números complejos como vectores en el siguiente vídeo vamos a hablar acerca de otro concepto vamos a ver lo que es el módulo o valor absoluto de un número complejo que tiene que ver con la interpretación como vector de un número complejo así que los invito a que lo vean si te gustó este vídeo apóyame regalando me un like suscríbete a mi canal y comparte mis vídeos y recuerda que si tienes cualquier pregunta o sugerencia puedes dejarla en los comentarios