Ecuación usando números complejos, cos z = 2

pide resolver la ecuación coseno de z igual a 2 y digo que es de variable compleja por lo que ya mencionaba el principio de que en variable real si se está fuera un número real el coseno de un número real siempre va a ser un número entre menos uno y uno nunca va a exceder eso sin variable real el coseno y el seno son funciones acotadas entre el uno y el menos uno pero en este caso no nos está dando un valor que se encuentra en ese intervalo no está dando el 2 que es mayor que 1 entonces no existe un número real tal que el coseno de ese número real sea igual a 2 así que pasamos a los números complejos dentro de los números complejos si tiene solución esta ecuación y vamos a ver cómo obtener esa solución en realidad hay una infinidad de soluciones vamos a ver cómo obtener las todas lo primero que vamos a hacer es utilizar esta identidad que transforma al coce no en exponenciales cosas 9 z es igual al exponencial de y por zeta más la exponencial de menos y por zeta entre los entonces colocamos esto aquí que obtenemos esto acá y este 2 que está dividiendo pasa 224 aquí podemos continuar utilizando las exponenciales hasta el final pero para no confundirnos tanto podemos hacer un cambio de variable y vamos a hacer que esta exponencial de iceta sea igual av estamos haciendo un cambio de variable y hubo va a ser igual ha elevado a izeta entonces esto de aquí es esto de acá no es directamente porque hay un signo menos pero podemos interpretar esto como si fuera elevado a izeta todo elevado a menos 1 porque los exponentes se multiplican entonces esto lo podemos poner como un ala menos 1 otra manera de hacerlo sería como es un exponente negativo ponerlo como fracción 1 entre que elevado a izeta y ahí ya podríamos sustituir uno entre y lo mismo entonces aquí tenemos ahora una ecuación o más o al menos uno igual a cuatro ecuación algebraica más fácil de resolver aquí para quitar este exponente menos 1 podemos multiplicar toda la ecuación por entonces al hacer eso o por búsqueda o cuadrada o por igual a menos 1 es uno los exponentes se suman aquí es 11 y aquí menos 11 menos uno es cero y elevado a cero es 1 o si lo ponemos como fracción eso sería 1 entre eeuu y la uv que divide con la que multiplica se cancelan y quedaron de cualquier manera y luego por 4 queda 4 ahora este 4 positivo pasa negativo al lado izquierdo y entonces lo que se obtiene es una ecuación de segundo grado que podemos resolver con la fórmula general esta de aquí en esta fórmula recuerden que la a es el coeficiente del término cuadrado que es 1 b sería menos 4 y c es uno aquí si es necesario completamente usar esta fórmula porque no se puede resolver factor izando con números enteros si lo hacemos con la fuente y entonces sustituimos aquí estos valores y nos queda esto de aquí menos b pero vale menos 4 menos por menos a más y entonces queda 4 positivo más menos la raíz cuadrada de b cuadrada o sea menos 4 al cuadrado como elevado al cuadrado siempre nos va a dar algo positivo podemos ponerlo así 4 al cuadrado no hace falta poner el menos y luego es menos 4 podrá por sí entonces es cuatro por uno por uno entre dos por uno y hacemos las operaciones 4 al cuadrado de 16 menos 4 nos da 12 y la raíz cuadrada de 12 se puede simplificar 12 es lo mismo que 4 por 3 y separamos esta raíz como un producto raíz de 4 por raíz de 3 la raíz de 4 vale 2 así que queda 2 x raíz cuadrada de 3 y ahora podemos separar esta esta suma o resta de fracciones así y aquí se puede dividir de forma exacta 4 entre dos nos da dos y dos entre dos a uno entonces queda directamente la raíz de tres entonces tenemos dos soluciones para ahora que ya resolvimos pues vamos a deshacer el cambio de variable ponemos ^ iceta en lugar del agua y entonces tenemos que la exponencial es igual a 2 + menos raíz cuadrada de 3 nosotros lo que estamos buscando es el valor de z así que de aquí hay que despejar z para quitar la exponencial lo que hacemos es pasar al otro lado como su función inversa que es el logaritmo natural pero recuerden que estamos en variable compleja entonces va a ser el logaritmo natural complejo que se representa en algunos libros con la l mayúscula para distinguirla del logaritmo natural real entonces l n es logaritmo natural de complejo del 2 + menos raíz de 3 como se calcula el logaritmo natural de un número complejo se calcula así el logaritmo natural de un número complejo z es igual a logaritmo natural real aquí vean que la l es minúscula para no resaltar ese hecho logaritmo natural real del módulo de zeta + y por el argumento principal de zeta + 2 porque por n por donde n es un número entero o sea que los logaritmos naturales complejos nos puede dar una infinidad de valores entonces en este caso de hecho vean que ni siquiera es como tal un número complejo lo que está aquí es un número real pero recuerden que los números reales son un subconjunto de los complejos 3 hay que tratarlo así como un número complejo entonces va a ser el logaritmo natural del módulo de este número con el bueno del número complejo no pero como es un número real el módulo se transforma en el valor absoluto de ese número real ahora hay que analizar los dos signos si tomamos el signo positivo 2 + la raíz de 3 nos da como resultado un número positivo y al tomar el módulo de ese número positivo sigue siendo el mismo número que es positivo en el valor absoluto del número positivo es positivo y qué pasa si tomamos el signo menos 2 - raíz de 3 también es positivo porque la raíz de 3 es 1.7 algo así es menos que 2 entonces al hacer esta resta también sigue siendo un número positivo y al tomar el módulo entonces sigue siendo el mismo número por eso aquí podemos escribirlo como tal y así el valor absoluto luego es más y por el argumento principal del número complejo ahora cuál es el argumento principal de un número real positivo quiero que hay que recordar es que los números reales positivos se encuentran en el eje x positivo y el argumento es el ángulo que forma el vector en este caso que sería un vector sobre el eje x el ángulo que forma ese vector con el mismo eje x como ese vector está sobre el eje x el ángulo que forma es cero y el argumento principal de un número real positivo es cero si fuera un número real negativo sería pi en el argumento pero bueno en este caso es cero así que este término vale cero no lo ponemos y luego es más dos porque pone y listo bueno aquí de lo más que podrían tener alguna duda es sobre esto del argumento este sobre eso voy a hacer vídeos más adelante de hecho son los que siguen del curso de variable compleja que tengo ahí todavía está en construcción y explicar el argumento de los números complejos pero bueno entonces nosotros lo que estamos buscando es z recordemos así que aquí todavía falta esta y quitarla y pasarla dividiendo así que al pasar a dividiendo aquí esto lo podemos escribir como uno entre y lo podemos poner todo esto en tres pero es más fácil o más uno entre y por esto más uno entre y por esto pero vean que aquí al dividir está ahí con la otra y se cancelan por eso queda nada más dos pi y ahí tenemos ya los valores de z pero aquí está ya podemos simplificar un poco recordando que uno entre y es igual a menos y esto recuerden que se obtiene multiplicando arriba y abajo por y entonces aquí quedaría y entre y cuadrada y cuadrada es menos 1 y por eso queda menos sí y ahí está podemos escribir ahora las soluciones ya de una forma más correcta separando estos signos una familia de soluciones es esta de aquí con el signo negativo ponemos primero la parte real que es el 2 y por n que no tiene ninguna y y luego - el hipo el logaritmo de esto con el signo positivo y la otra familia de soluciones es esto mismo pero en lugar de tomar el positivo aquí tomamos el negativo y aquí hay que especificar que n es un número entero cualquiera puede ser 0 1 2 3 o negativos también menos 1 - 2 23 vemos entonces que hay una infinidad de soluciones bueno esa es una forma de expresar estas soluciones pero otra manera que también pueden encontrar si por ejemplo ustedes usan algún programa como wolfgang por ejemplo y meten esta ecuación para ver qué soluciones les da puede que darles la solución así también y pueden pensar que estas soluciones son diferentes que estas de acá pero en realidad es lo mismo vean que aquí la diferencia es la segunda expresión que aquí en lugar de un menos tenemos un más y aquí en lugar este menos tenemos un más pero en realidad es exactamente lo mismo porque lo que podemos hacer aquí es este 2 - la raíz de 3 transformarlo en un 2 + raíz de 3 de la siguiente manera este número lo multiplicamos y lo dividimos entre 2 + raíz de 3 que es el binomio conjugado con este y entonces al hacer la multiplicación como es una multiplicación de binomios conjugados es el cuadrado del primer término 2 al cuadrado 4 menos el cuadrado del segundo del cuadrado de esta raíz cuadrada se cancela queda nada más el 3 y 4 menos 3 a 1 entonces este número 2 menos raíz de tres es lo mismo que uno entre dos más raíz de 3 y entonces al aplicar el logaritmo logaritmo de 2 - raíz de 3 es lo mismo que logaritmo de 1 entre 2 + raíz de 3 y hay que recordar que el organismo de una división es igual a una resta de logaritmos logaritmo de uno menos logaritmo de lo de abajo y el logaritmo de uno es cero así que este término lo quitamos y nada nos queda estar acá así que lo que hemos demostrado es que logaritmo de dos menos raíz de tres es menos el logaritmo de dos más raíz de tres entonces aquí si queremos cambiar esto por 2 + raíz de 3 tenemos hay que considerar este menos de acá a multiplicarlo por este y nos da más sí muchísimas gracias a todas las personas que me apoyan con su membresía en youtube y en peyton de verdad infinitas gracias por todo su apoyo