27. ¿El número i es positivo o negativo? Los complejos no son un campo ordenado

27. ¿El número i es positivo o negativo? Los complejos no son un campo ordenado

hola y bienvenidos a otro vídeo de mate fácil en este vídeo vamos a demostrar que el campo de los números complejos no es un campo ordenado en otras palabras nosotros no podemos decir si un número complejo es mayor o es menor que otro número complejo extendiendo el orden de los números reales en particular no vamos a poder hablar de números complejos positivos o números complejos negativos esos conceptos de positivo y negativo únicamente serán aplicables a los números reales y no a los números complejos como una consecuencia de lo que vamos a demostrar en este vídeo bueno primero vamos a ver qué es un campo ordenado la definición de un campo ordenado es la siguiente un campo es ordenado si existe un orden total para sus elementos que además sea compatible con las operaciones del campo que son suma y producto bueno para entender esto primero por supuesto deben entender lo que es un campo eso ya lo explique en otro vídeo en el segundo vídeo de este curso de variable compleja hablamos un poco acerca de los campos y demostramos que los números complejos forman un campo con la suma y el producto definidos ahí en los números complejos si no ha visto esos vídeos los invito a que los vean pueden encontrar el enlace al curso completo en la descripción de este vídeo bueno un campo ordenado es algo que cumple dos características existe un orden total y ese orden es compatible con las operaciones bueno voy a explicar a que me refiero con orden total y a qué me refiero con que sea compatible con las operaciones y eso lo voy a hacer mediante un ejemplo el ejemplo más característico y más importante de los campos ordenados es el campo de los números reales los números reales si forman un campo ordenado la característica que debe ser debe existir un orden total significa que si nosotros tomamos dos números reales en este caso dos números que sean distintos entonces o bien x es menor que ayer o bien es menor que x eso es lo que quiere decir que sea totalmente ordenado o sea que tenga un orden total que siempre que nosotros tomemos dos elementos distintos entonces podemos compararlos uno debe ser menor que el otro necesariamente aquí puede ser que algunos de ustedes estén preguntando si esto no es algo obvio si existe algún conjunto para el cual no ocurra esto de que podamos decir cuándo un número es menor que el otro y en realidad si hay ejemplos de eso órdenes que no son totales en los cuales cuándo tomamos dos elementos aunque sean distintos no podemos compararlos no ocurre que uno sea menor que el otro pero bueno en este vídeo no voy a profundizar más en ese tema no voy a dar ejemplos eso ya lo dejaré para algún otro vídeo entonces vamos a ver algunos ejemplos de a qué me refiero con orden total tomemos dos números reales por ejemplo Pi y el número 10 son dos números reales y los dos son distintos pino = 10 entonces debe cumplirse qué bien es menor que 10 o bien Pi es mayor que 10 en este caso por supuesto Pi es menor que 10 es un número más pequeño si tomamos por ejemplo la raíz cuadrada de 2 qué es un número real y el uno que también es un número real en este caso la comparación sería está la √ 2 es mayor que 1 es decir 1 es menor que la raíz cuadrada de 2 a eso nos referimos con orden ahora la segunda característica que el orden debe ser compatible con las operaciones que el orden sea compatible con las operaciones significa dos cosas en primer lugar que si nosotros tomamos dos números reales a ID donde a es menor que B y C es cualquier otro número real entonces a maze es menor que B + E en otras palabras si nosotros tenemos una desigualdad podemos fumar una misma cantidad en ambos lados de la desigualdad y la desigualdad se mantiene no cambia por ejemplo si aquí en esta desigualdad que Pi es menor que 10 sumamos por ejemplo el número 2 en ambos lados la desigualdad se mantiene be + 2 es menor que 10 + 2 entonces esta es la compatibilidad con la suma y hay otra característica que es la compatibilidad con el producto que nos dice lo siguiente si A es menor que B y C es un número positivo o sea se es mayor que 0 entonces hace es menor que B C es lo que quiere decir es que si nosotros en una desigualdad multiplicamos ambos lados por un número positivo la desigualdad se mantiene no cambia de estas dos características nosotros podemos obtener varias más una de ellas es la de las leyes de los signos la de que si multiplicamos dos números positivos el resultado es positivo si multiplicamos un positivo por un negativo el resultado es negativo las leyes de los signos son consecuencia de estas dos propiedades de el orden de los números reales otra característica por ejemplo también es que si un número es positivo su inverso multiplicativo también es positivo si un número es positivo su inverso aditivo es negativo y varias otras propiedades que ya iré demostrando en algunos otros vídeos pero bueno de estas dos características o tenemos una importante propiedad que es la siguiente en cualquier campo ordenado que vamos a llamar aquí F se cumple que para todo x en el campo x al cuadrado es mayor o igual que sé o no importa que número tomemos en el campo ordenador si nosotros lo elevamos al cuadrado el resultado siempre es mayor o igual que cero eso por supuesto ocurren los números reales porque son un campo ordenado cuándo tomamos cualquier número al elevarlo al cuadrado el resultado siempre es mayor o igual que cero y de hecho el resultado solamente va a ser igual a 0 si el número que estamos elevando al cuadrado es 0 si el número que tomamos es distinto de cero que al elevarlo al cuadrado el resultado es estrictamente positivo esto es lo que nos va ayudar a demostrar que el campo de los números complejos no es un campo ordenado entonces vamos a suponer que si lo es supongamos que el campo se es un campo ordenado entonces el número y sabemos que está en los números complejos por lo que debe cumplir lo siguiente que y al cuadrado es mayor que cero estrictamente porque sabemos que y es distinto de cero ya que ella al cuadrado es -1 entonces ialcuadrado van por lo que acabo de decir y al cuadrado es -1 y entonces obtendríamos lo siguiente que menos 1 es mayor que cero esto ocurriría si el campo de los números complejos fuera un campo ordenado obtendríamos que menos 1 es mayor que cero esto ya de entrada nos dice que el orden que obtendríamos no es el mismo que el de los números reales porque los números reales 0 es mayor que menos 1 no ocurre que menos 1 es mayor que 0 pero podríamos pensar qué tal vez dentro de los números complejos si ocurre que el -1 es mayor que cero podría ocurrir sin embargo otra propiedad que se puede demostrar de la definición de un campo ordenador es que siempre el menos uno debe ser menor que 0 nunca puede ser mayor que cero de hecho voy a dar por aquí un poquito la demostración supongamos que menos 1 es mayor que 0 entonces como estamos suponiendo que se trata de un campo ordenado por la compatibilidad de la suma nosotros podemos sumar en ambos lados de esta desigualdad uno positivo sumamos uno en ambos lados de la desigualdad y entonces al hacer la suma -1 + 1600 más uno nos da 1 obtenemos que cero tiene que ser mayor que 1 podemos pensar que pues esto también podría cumplirse dentro de los números complejos pero por la compatibilidad del producto sabemos que podemos multiplicar esta desigualdad por una cantidad mayor que cero y la desigualdad se mantiene entonces como estamos diciendo que menos 1 es mayor que cero vamos a multiplicar por -1 ambos lados de esta desigualdad y debería mantenerse porque el menos 1 estamos diciendo que es positivo entonces multiplicamos ambos lados y al hacerlo aplicación no tenemos esto 0 por menos uno que es cero eso ya lo demostramos cualquier número por 0 nos da cero notaría que esto es mayor que menos 1 porque al multiplicar uno que es la identidad dentro de la multiplicación 1 por -1 nos da -1 yo tenemos entonces que 0 es mayor que -1 pero anteriormente habíamos dicho que menos 1 es mayor que cero con lo cual llegamos a un absurdo porque precisamente lo que dijimos de un capo ordenado es que solamente debe cumplirse una de las dos cosas que o bien menos 1 es mayor que 0 o bien 0 es mayor que menos 1 no pueden cumplirse ambas a la vez entonces como esto es una contradicción concluimos que el campo de los números complejos no es un campo ordenado no puede tener un orden que sea compatible con las operaciones lo que si puede ocurrir es que podemos ordenar al campo de los números complejos con algunos otros órdenes pero esos órdenes cualquiera que pongamos no va a ser nunca compatible con las operaciones y por lo tanto no tiene mucha importancia algebraicamente hablando así que por esta razón los números reales siguen siendo un conjunto de números bastante importante porque los números reales si nos van a servir para comparar cantidades por ejemplo para definir distancias no sirven los números reales mientras que los números complejos nos van a servir para otras cosas como por ejemplo cuando resolvemos ecuaciones como mencionaba al principio del curso que únicamente se puede hay ecuaciones que únicamente se pueden resolver dentro del campo de los complejos y que no se pueden resolver dentro de los reales así que cada conjunto tiene sus características especiales el de los complejos y el de los reales por lo que ambos conjuntos son muy importantes bueno en el siguiente vídeo vamos a ver otro tema vamos a ver cómo podemos representar gráficamente a los números complejos así que los invito a que miren ese vídeo si te gustó este vídeo apóyame regalándome un like suscríbete a mi canal y comparte mis vídeos y recuerda que si tienes cualquier pregunta o sugerencia puedes dejarla en los comentarios

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