Discutir y resolver un sistema de ecuaciones 3x3 con parámetro. Método de Gauss 01

[Música] hola pupilos que tal bienvenidos al nuevo vídeo de mates de segundo de bachillerato donde seguimos con sistemas de ecuaciones lineales en este caso vamos a discutir un sistema en función de un parámetro por el método de gauss y resolverlo cuando sea posible antes de ver este vídeo os recomiendo que hayáis visto antes los los vídeos que tengo sobre sistemas de ecuaciones por el método de gaucín parámetro vale porque esos son un poco más sencillos que uno como éste donde estamos metiendo ya una letra por el medio vale entonces fijaros tenemos este sistema donde tenemos una k vale el hecho de que hay un parámetro realmente implica que aquí hay infinitos sistemas vale y según los valores que pueda tomar esa que tendré cada vez un sistema diferente y por tanto puede tener soluciones diferentes vale entonces discutir un sistema quiere decir buscar para qué valores de k en este caso k es el nombre del parámetro para que valores de k el sistema es de una forma o de otra vale entonces lo vamos a hacer por el método de gauss escalonando la matriz del sistema como siempre al entonces para ello me copió la matriz entonces tenemos la primera fila que sera k 1 la segunda fila k k menos 11 ko y tercera fila 1 11 camas 1 vale entonces recordar que el método de caos consiste en hacer ceros debajo de la diagonal por tanto me tengo que hacer ceros estos elementos cada uno y uno vale entonces para ello en el primer paso me voy a hacer cero la cara y el 1 pivotando con el 1 que tenemos ahí arriba entonces las transformaciones que hay que hacer en este caso será pues para conseguir aquí un cero tomando como referencia este uno simplemente haré efe 2 - acá por efe uno vale y de esta forma aquí tendré un 0 y para hacerme 0 este elemento simplemente haré efe 3 - f1 vale pues bien la primera fila la copiamos igual la segunda fila aplicamos la transformación acá - acá por uno vale eso vale cero k - 1 - capón 1 la punta y si queréis si no lo ves de cabeza k - 1 - k por 1 vale k por 1 es k y k - 1 - k vale menos 1 está claro luego aquí tenemos 1 - acá porque es decir 1 - k al cuadrado está por acá que nadie ponga dos acá por favor cada cuadrado y tenemos aquí acá - acá por uno acá - acá 0 vale ya tenemos la segunda fila la tercera fila hacemos la transformación f 3 - efe 11 menos 10 110 1 - k 1 - k y camas 1 - 1 pues vale entonces fijaros fijaros que sueles detenido en este caso porque en las primeras transformaciones pretendía hacer ceros estos dos elementos pero es que me pasó también me encontraba que ya un cero sin necesidad de tener que hacer transformación ya me ha aparecido con lo cual el sistema está escalonado lo veis bien entonces una vez llegamos a este punto es cuando empieza el momento de la discusión del sistema entonces para ello me fijo en la tercera fila vale donde aquí tengo un cero aquí tengo un cero y aquí tengo uno menos acá vale me interesa mucho esta expresión que me aparece aquí 1 - acá entonces lo que voy a hacer va a ser igualar a 0 ese término vale porque según esto valga 0 o no valga 0 ya os digo que el sistema va a ser de una forma o de otra vale entonces igualamos a 0 1 - acá tenemos 1 - acá igual a 0 despejando de esta ecuación que me queda acá es igual a 1 vale pues este valor es muy importante este va a ser el valor que me va a marcar que me va a diferenciar si el sistema va a ser de un tipo o de otro está claro muy importante entonces ahora cuando ya empezamos a distinguir los diferentes casos yo siempre empiezo por el caso del distinto entonces sí que es distinto de uno ya os digo que el sistema va a ser compatible determinado y ahora vamos a ver por qué vale entonces para ello lo que hago es recibirme el sistema vale que aquí ya lo tengo escalonado ya en forma de ecuaciones entonces me quedara la primera actuación tengo x más y más 14 está igual a 1 la segunda actuación menos y más uno menos acá al cuadrado por zeta igual a cero y la tercera actuación uno menos acá por zeta igual acá vale entonces como el sistema está escalonado ya puedo y despejar aquí va lento del zeta será igual acá partido uno menos acá y fijaros aquí viene lo importante fijaros si acá vale 11 menos acá vale 0 sí o no es decir si acá no vale 11 menos que no vale 0 estamos en el caso de que acá no vale 1 si acá no vale 11 menos acá no va de 0 por tanto si uno menos acá no vale cero la zeta la estoy obteniendo dividiendo un número el que sea entre un número que sé que no es cero vale por tanto esto seguro seguro seguro que es un número vale es un número un solo número por tanto ya tengo que z sería este valor entonces como la zeta va a ser un valor concreto el que sea seguro que valga acá vale el sistema va a sería compatible determinado ya tengo el valor de zeta ahora con este valor de z subo para arriba y me calculó la ahí y la x vale entonces para eso me voy a la segunda actuación y despejó menos si me lo paso a la derecha como y de forma que me queda y es igual 1 - k al cuadrado por z vale y como z ya sé que es este valor sustituyó y tengo 1 - k al cuadrado por zeta que james k partido 1 - k entonces uno menos que al cuadrado multiplica a la caja es decir me queda 1 - k al cuadrado por k partido 1 - k vale esto sería el valor de la iss pero cuidado mucho cuidado esto no se queda así vale igual que las fracciones de números las simplificamos las fracciones algebraicas también hay que simplificar las si se puede vale entonces para eso aquí nos tenemos que dar cuenta y esto es así a base de práctica 1 al final lo ve uno menos que al cuadrado es el desarrollo de la tercera identidad notable vale es decir 1 - k al cuadrado es lo mismo que uno mas k por uno vale recordar suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados vale y esto multiplicado por acá y me queda dividiendo entre 1 - acá vale y fijaros de esta forma como al hacer esto al descomponer al factorizar este polinomio aquí ya tengo algo que se repite arriba y abajo que puedo tachar por tanto me queda finalmente que pongo ya por aquí que la y es igual a 1 k porque aplicando distributiva pues k mas k al cuadrado lo veis ya lo tendría por aquí eso sería el valor de la y bien ahora para sacar la x me voy aquí a esta ecuación vale me voy a esta ecuación y tengo que x es igual a quien a uno menos y menos 14 está vale he pasado estos dos términos a la derecha restando vale como y iceta ya los conozco pues simplemente sustituyó y tengo uno menos abro paréntesis vale y pongo acá más acá al cuadrado a no ser que aquí ya ponga si no quiero poner el paréntesis aquí tengo que poner menos cuidado con este tipo de fallos que muchas veces mete la pata vale cuidadín menos acá x z y la z la tenemos por aquí acá partido 1 - k vale entonces seguimos por aquí espero que me quepa y si no voy a ir borrando me apunto ya lo importante bueno de hecho me voy a apuntar el valor de la zeta y de la y aquí y voy borrando bien como decía seguimos por aquí estamos calculando la x ya sustituyó la y la zeta por lo que valen aquí y tengo que operarme esta expresión ahora que ya tengo espacio sigo por aquí entonces tenemos aquí uno esté menos me cambia signo si tengo menos acá menos acá al cuadrado vale menos acá por kaká cuadrado que me queda arriba partido 1 - k vale entonces para hacer estas sumas restas de términos no tengo fracciones voy a tener que sacar el mínimo común múltiplo vale entonces aquí recordar que tengo como un 1 dividiendo vale entonces mínimo común múltiplo de 1 y 1 - acá 1 - k 1 - k / 11 - k x todo lo de arriba vale 1 menos que de multiplicar a todo lo que tenemos aquí 1 - k - acá al cuadrado vale esto sería este término de aquí y ahora 1 - acá entre 1 - acá es 1 porque al cuadrado cada cuadrado con este menos que tenemos aquí vale sé que esto es un poco largo pesado laborioso pero en lo que ahí tenemos que pasar por aquí a la hora de resolver el sistema x 2 cuando me queda el parámetro vale bien venga que no es tan difícil seguimos aquí lo que tengo que hacer ahora es aplicar distributiva 1 x todo esto con 1 x todo esto tengo uno menos que menos k al cuadrado y ahora menos acá x todo esto menos k por uno menos k menos acá por menos acá marca al cuadrado menos acá por menos acá al cuadrado más acá al cubo vale más acá al cubo y ahora menos cada cuadrado partido 1 - k vale entonces ahora no llegamos a este momento lo que tenemos que hacer es agrupar términos por grados de cálculo el único término de grado 3 cálculo vale me lo marcó al cuadrado fijaros este con este se me va por tanto me queda solamente este no menos acá al cuadrado bueno al cuadrado tengo este estos dos que se me han ido vale y ahora menos acá - cada menos dos acá al menos dos acá y aquí más uno lo único número suelto ss más uno partido uno menos acá vale fijaros esto es el valor de la equis cuidadín no sabemos si hemos terminado todavía tenemos una fracción algebraica entonces hay que ver si se puede simplificar por factorización de polinomios esto lo tenéis que saber que aquí os voy a poder simplificar en el caso que el término que me anula el denominador sea el mismo que el del numerador es decir lo de abajo se me hace 0 cuando la k vale 1 entonces si caigo a la 1 también me hace 0 el polinomio de el numerador seguro que se va a poder se va a poder factorizar y de alguna forma voy a poder simplificar vale entonces lo que tengo que hacer es comprobar si acá igual a 1 me anula lo de arriba vale entonces para eso lo que puedo hacer puedo hacer ruffini o directamente sustituir acá igual a 1 en este polinomio vale lo voy a hacer por ruffini por ejemplo entonces tengo 1 menos 121 vale y acá igual a 1 que es el valor que me hace 0 lo de abajo me lo pongo aquí para entonces tengo 1 aquí 100 menos 2 - 2 - 1 vale como aquí no tengo cero quiere decir que cada menos 11 menos acá no es factor de este polinomio por tanto no voy a poder simplificar está claro repito aquí no me paro mucho por el tema de que esto lo tenéis que conocería bien de 4º de eso 1º de bachillerato factorización de polinomios y simplificación de fracciones algebraicas vale por tanto como esto no se va a poder simplificar ya tengo que la x va a ser todo esto que tenemos aquí vale que me lo voy a apuntar por aquí bien aquí tenemos el resumen de este caso si cada instinto de uno y hemos visto que el sistema es compatible determinado la x la y y la z toman estas expresiones vale entonces ahora hay que contemplar el otro caso qué es lo que pasa si la k es igual a 1 mal entonces y la k es igual a 1 lo que voy a hacer va a ser irme a la matriz escalonada y reescribir me la con este nuevo valor de acá es decir la matriz del sistema me quedara 1-1 la calle vale 1-1 vale 0 - 1 1 - k al cuadrado 1 - 1 al cuadrado 110 vale aquí pero aquí 001 1 - 10 allen y aquí la caja que vale 1 vale el sistema me queda de esta forma alex y ahora yo me lo escribo en forma y adecuaciones tengo x máxima z igual a 1 vale menos igual a cero y aquí fijaros tengo cero x marcelo y marcelo z vale que es 0 0 igual a 1 vale entonces fijaros que aquí llego a una contradicción enorme 0 es igual a 1 si en un sistema llego a una contradicción como por ejemplo esta llegamos a la conclusión de que el sistema es incompatible vale en este caso el sistema es incompatible vale fijaros si esto lo hiciéramos de la misma forma parecido a como estábamos haciendo antes vale realmente este 0 corresponde a la zeta y entonces aquí es como si tuviéramos cero z vale entonces aquí despejando diríamos en un principio que ez es igual a 1 partido por 0 vale pero esto da muchos problemas sabéis que matemáticas no se puede dividir entre 0 cosa que no pasaba cuando la k era distinto de 1 por lo que hemos razonado antes que en el denominador que es el número que tengo aquí nunca iba a ser 0 por tanto esa operación se podía hacer la zeta tomaba un valor concreto la y otro valor concreto y la equis otro valor concreto y eso me lleva a un sistema compatible determinado vale en este caso esto no se puede hacer esto está prohibido entonces si no consideramos ni siquiera la incógnita y vemos aquí una contradicción pero es igual a 1 pues nada ya sabemos que el sistema va a ser incompatible está claro pues nada pupilos hasta aquí sería el vídeo de hoy espero que hayáis entendido todo perfectamente y si es así por favor laical vídeo compartir suscribir deja las dudas que tengáis los comentarios y ya nos vemos en el siguiente vídeo vale venga chao