Teoría de grupos elemental: ¿Cómo tocar un cubo de Rubik como si fuera un piano? - Michael Staff

Traductor: Sebastian BettiRevisor: Lidia Cámara de la Fuente ¿Cómo se puede tocar un cubo de Rubik? No jugar, sino tocar,como se toca un piano. La pregunta no tiene mucho sentido al principio, pero un campo matemático abstracto,la teoría de grupos, tiene la respuesta si me siguen. En matemática, un grupo es una colección particular de elementos. Podría ser un conjunto de números enteros, la cara de un cubo de Rubik, u otra cosa, siempre y cuando se sigancuatro reglas específicas, o axiomas. Axioma uno: las operaciones de grupo son cerradas,o restringidas a elementos del grupo. Por eso en nuestro cuadrado,para cualquier operación que hagas como girar hacia un lado o el otro, terminarás en un elemento del grupo. Axioma dos: no importa dónde pongamos los paréntesisal hacer operaciones en un grupo simple, siempre obtenemos el mismo resultado. En otras palabras, si giramos el cuadradoa la derecha 2 veces, luego derecha 1 vez, es lo mismo que 1 vez, luego 2 veces, o para números, uno más doses lo mismo que dos más uno. Axioma tres: para cada operación, existe un elementodel grupo llamado identidad. Al aplicarlo a cualquier elemento del grupo, seguimos teniendo ese elemento. Tanto para girar el cuadradocomo para la suma de enteros, nuestra identidad aquí es cero, no es muy emocionante. Axioma cuatro: cada elemento del grupo tiene un elementollamado su inverso también en el grupo. Cuando los dos se juntan mediante la operación de adición del grupo, dan como resultado el elemento identidad, cero, puede pensarse como que se cancelan mutuamente. Todo muy bien, pero ¿cuál es la idea tras todo esto? Bueno, cuando vamos más alláde estas reglas básicas, surgen propiedades interesantes. Por ejemplo, expandamos el cuadradonuevamente a un cubo de Rubik. Sigue siendo un grupo que satisface todos los axiomas, aunque ahora tiene considerablementemás elementos y más operaciones. Podemos girar cada fila y columnade cada cara. Cada posición se llama permutación, y cuantos más elementos tiene un grupo,más posibles permutaciones existen. Un cubo de Rubik tiene más de 43 trillones de permutaciones, por eso tratar de resolverlo al azarno dará buenos resultados. Pero usando teoría de grupospodemos analizar el cubo y determinar una secuencia de permutaciones que darán la solución. De hecho, es lo que hacenla mayoría de quienes lo resuelven, incluso usan notación de teoría de grupos para indicar los giros. Y no solo es bueno para resolver acertijos. La teoría de grupos está muy arraigada a la música, también. Una forma de visualizar un acordees escribir las 12 notas musicales y dibujar un cuadrado dentro de ellas. Podemos empezar con cualquier nota,pero usemos do dado que está arriba. El acorde resultante se llamaacorde de séptima disminuida. Ahora bien, este acorde es un grupocuyos elementos son estas cuatro notas. La operación que podemos hacer en él es desplazar la nota de abajo arriba. En música eso se llama inversión, y equivale a la adición de antes. Cada inversión cambiael sonido de la cuerda, pero nunca deja de ser DoDim7,do de séptima disminuida. En otras palabras, satisface el axioma uno. Los compositores usan inversiones paramanipular una secuencia de acordes y evitar un bloque,una progresión que suena sin gracia. En un pentagrama musical,una inversión tiene este aspecto. Pero también podemos solaparlaen el cuadrado y tenemos esto. Si cubrieras el cubo de Rubik con notas de modo que cada cara del cubo resueltofuera un acorde armonioso, podrías expresar la solucióncomo una progresión de acordes que pasa gradualmente de discordancia a armonía y tocar el cubo de Rubik,si eso es lo tuyo.