Teorema Fundamental de la Aritmética

[Música] hola a todos hoy vamos a hablar del teorema fundamental de la aritmética pero si es tan fundamental merecería un letrero un poco más vistoso eso también este teorema también es conocido como el teorema de esta actualización única pero antes que nada me gusta presentar siempre a los protagonistas de la play a la izquierda tenemos a euclides de alejandría el padre de la geometría y a mi derecha tenemos a johan carl friedrich gauss el príncipe de las matemáticas pero os preguntaréis porque he puesto a construir a estos dos titanes un muro de ladrillos a pleno sol sencillamente para ilustrar nuestro teorema de hoy que viene a decir que los números primos son los ladrillos con los que construimos todos los demás números también os preguntaréis por qué entre nuestros dos protagonistas hay un intervalo de aproximadamente 2000 años resulta que el teorema fundamental de la aritmética aparece ya en el mayor best-seller de las estelas matemáticas los elementos de euclides aquí tenéis un fragmento de la obra original aunque posteriormente se ha reeditado muchas veces y a día de hoy se sigue leyendo sin embargo la prueba de nuestro teorema que aparece en dicha obra estaba incompleta y no es hasta 1801 que aparece una prueba completa y rigurosa en un pequeño librito llamado disquisiciones aritmética es de nuestro genial gauss pero llegó un rato aquí hablando por un ladrillo y todavía no he dicho en qué consiste el teorema fundamental de la aritmética dejadme que os lo explico con un ejemplo consideremos un número por ejemplo 210 este número se puede escribir como un producto por ejemplo como 6 por 35 pero también lo podríamos escribir como 5 por 42 o como 7 por 30 o incluso como un producto de tres números como 2 por 7 por 15 o 3 por 5 por 14 o incluso como un producto de 4 como 2 por 3 por 5 por 7 pues esta última factorización tiene una característica muy especial que es que todos sus factores son números primos 2 3 5 y 7 pues bien esto es justamente lo que nos va a decir el teorema fundamental de la aritmética o el teorema de factorización única que todo número se puede escribir como un producto de números primos y además de forma única vamos a obtener la descomposición en factores primos de 1.078 para eso vamos a utilizar que conocemos los los primeros números primos de hecho podemos conocer los números primos entre 1 y cualquier número que queramos utilizando lo que vimos en un vídeo anterior que se llamaba la criba de eratóstenes entonces sabemos que los números primos son 2 3 5 7 11 13 17 19 23 etcétera y también sabemos decidir si un número se puede dividir entre un número primo de forma rápida utilizando los criterios de divisibilidad que también hemos visto en vídeos anteriores entonces vamos a empezar a intentar dividir nuestro número entre los primeros números primos empezaremos por el 2 se puede dividir 1.078 entre 2 si porque la última cifra es par es 8 entonces hacemos aquí la división y nos sale 539 pero vamos otra vez a dividirlo entre dos pero en este caso la última cifra es 9 que es impar y por tanto no se puede dividir entre 2 bueno pues probemos con el siguiente número primo que es 3 para ello sumamos sus cifras 53 más 9 que nos da 17 y como no es múltiplo de 3 no se puede dividir entre 3 bien lo descartamos pues el siguiente primo sería 5 podemos dividir este número entre 5 tampoco porque su última cifra no es ni 0 ni 5 el siguiente primo es 7 bueno para ver si no podemos vidente 7 también tenemos un criterio de visibilidad pero en este caso casi es más fácil más fácil hacer directamente la división y nos sale exacta y el cociente es justamente 77 pues seguimos así fijaros que ahora no tenemos que volver a intentar dividir entre los primeros números primos porque si ha fallado en dos una vez ya va a fallar siempre si ha fallado el 3 lleva a fallar siempre estábamos entonces con el 7 pues probamos de nuevo en el 7 y claramente 77 se puede dividir entre 7 y nos da 11 bien ya no podemos probar con el 7 porque lo que nos ha salido aquí un número primo 11 por tanto sólo se puede dividir entre él así que mínimo entre 11 y nos sale 1 una vez que hemos llegado aquí y tenemos un 1 pues ya tendremos nuestra factorización del número en factores primos porque 1.078 se puede escribir como el producto de los números primos que nos han salido en esa columna es decir tenemos que en 1.078 es 2 por 7 por 7 por 11 o escribiendo los dos de forma más compacta 2 por 7 al cuadrado por 11 espero que os haya quedado claro el teorema fundamental de la aritmética nos vemos en el próximo vídeo hasta luego [Música] [Música] [Música] no no