Raíz cuadrada de i

Bienvenidos. Hace unos días intentandoparecer inteligente le conté mi novia sobre el número "i", y le expliqué que eraigual a la raíz cuadrada de menos 1 lo que ella me dice "si el número "i" es laraíz cuadrada de menos 1, ¿cuál es la raíz cuadrada de i? Después de mucho pensar le dije que nosabía, pero que lo averiguaría. Al pensar en la raíz cuadrada de i,estamos hablando de un número complejo que escribiremos de la forma a+ib, dónde "a" será la parte real, e (i*b) será la parte imaginaria.Si la raíz de i es a+ib eso quiere decir que a+ib alcuadrado será simplemente i. Usamos ahora el cuadrado de un binomio y obtenemos "a" cuadrado más 2ab*i más "i" al cuadrado por b al cuadrado.Todo esto se conserva igual pero aquí tenemos "i" al cuadrado por b al cuadrado. Ya que "i" al cuadrado es (-1), nos queda menos b al cuadrado.Finalmente separamos la parte real de la parte imaginaria y ahora podemos igualar. En la derecha no tenemos una parte realpor lo que "a" al cuadrado menos "b" al cuadrado debe ser igual a ceroy en la parte imaginaria tenemos una y por lo que 2ab debe ser igual a 1 Despejamos "a" en esta ecuación yencontramos que "a" es igual a 1/(2p). Además ya que es 2 por "a" y por "b" esigual a 1 sabemos que ambos son distintos de 0.Luego, en la segunda ecuación tenemos que "a" al cuadrado es igual a "b" al cuadrado.Ingresamos el valor de a y nos queda que 1/(2b) al cuadrado debe ser igual a"b" al cuadrado. Elevamos al cuadrado y tenemos unodividido en cuatro por b al cuadrado. Multiplicamos por b al cuadrado yobtenemos que "b" a la cuarta es igual a (1/4). Podemos sacar la raíz cuarta yllegamos a que b es igual a +/- 1 dividido por la raíz de 2 Solo nos queda ingresar este valor aquíy obtenemos que "a" es igual a +/- la raíz de dos dividido por dos.Ahora "b" es +/- 1 dividido por la raíz de 2. Sin lugar a dudas podemos racionalizar ynos queda que b es igual a más menos raíz de 2, dividido por 2. Así, la raíz de "i" será +/- la raíz dedos dividido por dos más "i" por la raíz de dos, dividido por dos. Los invito acomprobar este resultado simplemente eleven al cuadrado y obtendrán "i".Con ello puedo seguir intentando parecer inteligente.