Demostración de que raíz de 2 es irracional

tengo muchas ganas de intentar probar que raíz de 2 es irracional y justo eso es lo que vamos a ver en este vídeo vamos a intentar demostrar que raíz de 2 es irracional que raíz o keeffe raíz que la is de 2 es irracional irracional ahora para ver qué raíz de 2 es irracional voy a utilizar la contradicción voy a demostrar que raíz de 2 es racional por el método de contradicción y para esto lo que hay que hacer es suponer justo lo contrario y para saber que vamos a llegar a algo absurdo a una contradicción así que bueno tras lo que voy es probar que raíz de dos racional déjenme tratando con este color y lo voy a probar por contradicción por contradicción le voy a poner aquí demostración de postración demostración por contradicción por contradicción ahora date cuenta de que si yo llego a un absurdo suponiendo lo contrario es decir que raíz de dos es racional entonces cuando llegue a ese absurdo que estoy buscando en ese momento estoy diciendo que raíz de 2 debería de ser irracional que es justo lo que nosotros queremos ok entonces la idea de esto es suponer que raíz de 2 es racional y lo voy a poner aquí raíz de 2 racional vamos a suponer que raíz de dos es racional y vamos a ver si llegamos a un absurdo y si decimos que raíz de dos es racional entonces podemos decir entonces podemos decir que raíz de dos raíz de dos lo puedo ver como una fracción como una razón entre dos enteros entonces a raíz de 2 le voy a escribir como a una división entre dos números enteros entre a voy a utilizar este color entre b / b ok ahora lo importante de todo esto es ver que a y b es decir esta fracción que tenga aquí es una fracción irreducible y eso es muy importante si esta fracción no fue reducible bueno pues entonces podemos sacar algún factor común cancelarlo y tarde o temprano en llegar a una fracción irreducible todas las fracciones después de reducirlas llegan a ser una fracción irreductible y eso es súper importante para esta demostración que esta fracción es reducible o dicho de otra manera que a b sólo tienen como factor común al 1 lo que es exactamente lo mismo que decir que iverson q primos o primos relativos entre sí ok entonces yo es lo que quiero ver o más bien yo lo que voy a suponer es que esta fracción es una fracción irreducible aquí está la clave de esta demostración y si le ok voy a suponer que esta fracción de este reducible y si eso es cierto estoy diciendo que a ibn ok a y b y b son primos relativos entre sí o son co primos o podemos decir que no tienen no tienen no tienen ningún factor común y ninguno factor común exacto común común que no sea el 11 de septiembre ok y esto es muy importante raíz de 2 lo vamos a ver como una fracción irreducible todas las fracciones las podemos llevar a una fracción es reducible y eso quiere decir que tanto a como ven no tienen ningún factor común excepto el 1 excepto el 1 ok ahora utilizando esta misma información manipulamos justo esto que tenemos aquí si esto es cierto esto quiere decir que raíz de dos lo voy a poner se raíz de 2 es lo mismo que a entre ve que hay entre b entre b ok y de aquí que te parece si elevó al cuadrado ambos lados de esta igualdad llegarían a que 2 a que 2 es exactamente lo mismo que a cuadrada que a cuadrada entre b cuadrada entre b cuadrada y lo único que estoy haciendo es elevando el cuadrado a ambos lados de esta igualdad elevó al cuadrado la raíz de 2 y el cuadrado con la raíz se va y aquí me queda a cuadrada entre b cuadrada o dicho de otra manera esto es exactamente y esto es exactamente lo mismo que poner que 22 por ver cuadrada 2 por b cuadrada y bueno estoy suponiendo que es distinto de 0 esto es exactamente igual esto es exactamente igual que a cuadrada que a cuadrado lo único que hice fue multiplicar esta igualdad de ambos lados por b cuadrado de tal manera que aquí se va a cancelar y solamente me queda cuadrada mientras que del lado izquierdo me queda dos veces b cuadrada ok qué quiere decir esto bueno pues lo que quiero que veas es que aquí podemos concluir a y vamos a ponerlo así aquí podemos concluir que a cuadrada debe de ser un número par tanto a como b son enteros precisamente de aquí nos tomamos una fracción que es una división de enteros y aquí yo tengo dos por un número entero dos por un número entero esto me da un número par por lo tanto cuando yo tengo un número entero y lo multiplicó por dos es un número par que es el valor de a cuadrado y entonces puedo decir que al cuadrado es muy bien y esto para qué nos sirve bueno porque si a cuadrada spam y es que quiero que recuerdes cuadrada es lo mismo que decir a por am a por am entonces es park spark y esto para qué porque quiero que recuerdes un poco algo de lo que hemos visto si yo tengo por ejemplo un número par a un número par lo multiplicó por un número par bueno pues esto sabemos que nos da un número par un número par 2 x 2 es 48 por 8 74 y si yo tengo un número impar un número impar y a éste lo multiplicó por un número del par lo multiplicó por un número impar obtengo un número impar obtengo un número impar eso qué quiere decir bueno que si par por par nos da un número par entonces ahora nos da un número par y esto esto quiere decir que a spa es para la única manera de que tengamos un número x sí mismo que nos dé un número par debe de ser que este número sea un número par o dicho de otra manera podemos decir y déjame cambiar de color para que lo veas con este color dicho de otra manera podemos decir que a lo podemos escribir lo podemos escribir como un número par es decir como dos veces un cierto número de ok como aes par lo podemos ver como dos veces acá porque este de kim es un número par ok y bueno para que todo esto porque cuando nosotros decimos que es un número par y lo podemos representar aquí ahora voy a utilizar esta información para sustituir a aquí y llegar a que b también es un número par piensa en un segundo por ahí va la clave para llegar a la contradicción si nosotros vemos que b es un número par entonces estamos llegando a una contradicción de que esta fracción sea y tras eso vamos ok como lo podemos ver como 2 camps qué te parece si lo sustituimos justo en esta ecuación que tengo aquí y me va a quedar que dos veces ven a me lo voy a poner aquí dos veces ven a ve cuadrada dos veces ve cuadrada de cuadrada esto es exactamente lo mismo esto es exactamente lo mismo estoy escribiendo esta cuestión aquí que a cuadrada pero lo podemos ver como dos acá y esto elevado al cuadrado es decir esto es lo mismo que dos k elevado al cuadrado lo que representa al cuadrado solamente estoy sustituyendo en esta ecuación y bueno de aquí puede obtener que dos veces ven dos veces b cuadrada es exactamente lo mismo y aquí voy a elevar al cuadrado y me queda cuatro veces cada cuadra la cuatro veces que cuadrada o dicho de otra manera si divido todo entre dos voy a llegar a que este ese color debe el color de b&b cuadrada es exactamente lo mismo dos veces que cuadrada que dos veces campo cuadrada lo único que hice fue dividir esta parte entre dos y esta parte también la divide entre dos y justo estoy llegando a que b cuadrada es igual a 2 camps cuadrada lo que quiere decir por el mismo razonamiento un razonamiento muy análogo que ve cuadrada y aquí estoy diciendo que ve cuadrada debe de ser un número par debe cuadrada es par porque lo puedo representar como dos veces un cierto número y sirve cuadrada spark ok de aquí puede obtener que debe de ser par de spar por el mismo razonamiento de aquí arriba par por palmer debe de dar un número par y sirve cuadrada spark forzosamente b debe de ser par ok de aquí me fui para acá y de aquí me fui para acá y entonces estoy diciendo que es un número que yo puedo hacer como ambas escribirlo así ave ave lo puedo ver de la siguiente manera dos veces dos veces un cierto número m y justo aquí es donde cae la contradicción y aquí es lo más importante de este vídeo si b es igual a dos veces e m y ya es igual a dos veces acá tienen un factor común que es 2 tanto b es par como a spark y justo habíamos dicho que entre b en una fracción irreducible si ya entrevé es una fracción irreducible entonces tanto a como b no tienen ningún factor común pero acabamos de encontrar que éste tiene un factor común y luego aquí está lo malo del asunto esto es una contradicción acabo de llegar a algo que no se puede porque habíamos supuesto justo lo contrario esta es una contradicción lo que me está diciendo que entonces raíz de todos no puede ser racional porque justo de aquí partimos y si raíz de 2 no puede ser racional estoy diciendo que ya llegamos a nuestro resultado estoy diciendo que raíz de 2 es irracional nosotros empezamos diciendo que raíz de 12 racional entonces lo podemos ver como a entre una fracción irreducible y esto quiere decir que hay b no tiene ningún factor común excepto el 1 y llegamos a que hay b tienen como factor común al 2 y entonces aquí se da la contradicción y en ese momento podemos concluir entonces que raíz de 2 debe de ser irracional