ANÁLISIS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS - Ejercicio 1

vamos a hacer el análisis de esta función cuadrática lo primero que vamos a hacer es reescribir la así cambiamos jeff por fx que es lo mismo y aquí organizamos la función como menos x al cuadrado más 2x esto para que coincida con el modelo de una función cuadrática que dice fx igual a x al cuadrado más de x más podemos identificar que a es igual a menos 1 el coeficiente de x al cuadrado de es el coeficiente de la x o sea 2 y c sería el término independiente como en este caso no hay nadie entonces se vale al menos uno nos indica que la gráfica de esta función que es una parábola va a estar orientada hacia abajo en ese caso el vértice de la parábola va a ser el punto máximo el punto más alto de la función nos indica el interfecto es decir el punto de corte de la gráfica con el si se vale cero significa que la parábola aportar el eje en cero es decir en el origen a continuación vamos a obtener entonces lo que es el vértice de la parábola la coordenada del bc porque normalmente se denota como la pareja al chico macarra para encontrar h utilizamos la formulita menos b sobre 2a vamos a regresar entonces los valores de de díaz para eso se recomienda abrir paréntesis donde está cada una de las letras b vale 2 lo colocamos acá y ya vale menos uno lo colocamos aquí resolvemos esto queda menos dos sobre dos por uno menos dos que es igual a uno positivo h vale uno para encontrar acá existen dos caminos uno sería ir a la función original y evaluarla en lo que nos dio h que es igual a uno o el otro camino sería usar la fórmula 4 hace menos de cuadrado sobre 4 años vamos a ver que por los dos caminos nos debe dar lo mismo si vamos por acá efe dh sería efe de uno de 1 sería reemplazar en la función original el valor de x por 1 es decir vamos a empezar acá entonces nos quedaría así vamos a hacerlo por aquí quedarían menos abrimos un paréntesis x se cambia por 1 al cuadrado más 2 x es decir más 2 1 pero una cuadrada es igual a 1 con este menos queda menos uno más dos por uno que es igual a dos y menos 12 nos da 1s por un lado vamos a ensayar la otra posibilidad que mencionaba hace un momento qué es encontrar acá con la formulita 4 hace menos de cuadrado sobre 4 a 4 por el valor de a que es menos 1 por ser que vale cero - el valor de b que es igual a 2 al cuadrado sobre 4 ahora que es igual a menos 1 este producto 4 x menos uno por cero eso nos da 0 nos queda entonces arriba menos 2 al cuadrado que es igual a 4 abajo 4 x menos 1 de al menos 4 y esto nos da 1 tal como nos había dado hace un momento que significa entonces lo anterior que el vértice de la parábola va a estar en la coordenada 11 h vale 1 y k vale 1 ya tenemos entonces la coordenada del verde a continuación vamos a hallar los x interfectos es decir los puntos de corte de la gráfica con el eje x para ello debemos hacer igual a cero o en otras palabras la función igualar la hacer la función original decía 2x menos x al cuadrado entonces regulamos a 0 aquí se nos forma una ecuación cuadrática vamos a resolverla por factorización podemos sacar el factor común la x factor de 2x y esto igual a 0 como eso está multiplicando e igual a cero vamos a aplicar el teorema del factor nulo es decir igualamos cada factor a cero este factor se iguala 0 o 2 - x lo igualamos también a 0 por aquí ya tenemos incluso es un valor una solución a esta ecuación y por acá despejando la equis podemos pasar esta x que esta negativa al otro lado positiva aquí nos da que x vale significa esto entonces que los cortes con el eje x de nuestra función van a estar en 0 y en 2 a continuación vamos a hacer la gráfica de esa función vamos a llevar al plano cartesiano toda la información que hemos encontrado hasta el momento trazamos el eje por acá va el eje x marcamos el origen veamos los valores que encontramos fue igual a 1 corte con el eje x en 2 y que nos dio 1 supongamos que es por acá vamos entonces a ubicar el vértice la coordenada el perdices dijimos que era la parejita 1,1 gratis los cortes con los seres habíamos dicho que el corte con el eje que iba a ocurrir en perdonen 0 o sea en el origen y hace un momento vimos que los cortes con el eje x estaban en 0 y en 2 es decir la parábola debe pasar por esos 3 puntos y adicionalmente el comienzo del ejercicio habíamos dicho que la parábola iba a abrir hacia entonces vamos a trazar la gráfica de la parábola ella sigue por acá y siguen hacia acá allí podemos apreciar como el vértice es el punto más alto de la función corresponde al valor máximo el máximo valor que toma la función va a ser igual otra cosa que podemos de terminar aquí en este ejercicio es lo que se llama el eje de simetría qué es una recta vertical que pasa por el verde el eje simetría es simplemente una recta que divide la parábola en dos ramas iguales es decir la rama izquierda va a ser igual a la rama derecha la ecuación del eje de simetría en este caso por ser una recta vertical que pasa por uno va a ser x igual a 1 para terminar podríamos determinar lo que es el dominio de la función y el rango de la función recordemos que el dominio constituyen el conjunto de valores que toma la x en la función para este caso por tratarse de una función cuadrática cualquier valor de x es bienvenido cualquier valor negativo 0 positivo decimal fraccionario puede entrar a la función por lo tanto el dominio se dice que son los números reales 2x que pertenecen al conjunto de los y el rango de la función van a ser los valores que tomarla en la función en este caso vemos que la parábola toma valores desde 1 hacia abajo es decir podemos decir que son los menores o iguales que uno este sería entonces el rango también este conjunto se puede expresar como los pertenecientes al conjunto que van desde menos infinito 1 menos infinito abierto y uno cerrado aquí terminamos entonces el análisis de la función