32. Integral de raíz cuadrada de un polinomio (binomio)

hola y bienvenidos a otro vídeo de mate fácil en este vídeo vamos a ver cómo integrar una raíz cuadrada para integrar una raíz cuadrada lo primero que vamos a hacer siempre es escribir esta expresión con un exponente la raíz cuadrada se va a convertir en un exponente fraccionario en particular como se trata de raíz cuadrada el exponente es un medio si hubiera sido raíz cúbica el exponente sería un tercio si fue a raíz cuarta sería un cuarto etcétera es lo mismo escribir la raíz que escribirlo con exponente fraccionario lo siguiente que vamos a hacer es aplicar nuestra fórmula de v a la n siempre que tenemos una función elevada a un exponente se usa esta fórmula v va a ser lo que aparece dentro del paréntesis en este caso v es 7 x 5 la n es el exponente que es un medio y la de b es la derivada de b si nosotros derivamos b la derivada de 7x es 7 y la derivada de 5 es cero así que nada nos queda 7 y adelante tenemos que escribir el diferencial de x y lo siguiente que debemos hacer es completar delante de nuestra expresión la derivada que aparece aquí nosotros ya tenemos aquí el dx que aparece aquí pero nos faltaría tener un 7 aquí antes del de x para tener la derivada necesitamos tener la derivada para poder aplicar la fórmula porque la fórmula dice integral debe a la n por derivada de b ya tenemos nuestra be ya tenemos la n pero nos falta la de b que es la derivada entonces agregamos el 7 para completar la derivada pero como ya estamos agregando aquí una cantidad multiplicando hay que sacarla haciendo lo opuesto que es dividiendo de esta forma porque si no agregaremos está dividiendo aquí nosotros estaríamos alterando la integral y ya no tendríamos la integral inicial tendríamos una integral en la que agregamos un 7 pero ya no es la inicial ya es otra integral bien entonces ya tenemos aquí nuestra v nuestra n y nuestra debe así que podemos aplicar la fórmula la aplicamos entonces pasamos en un séptimo que está fuera de la integral eso lo vamos a ir pasando y lo que vamos a hacer es poner una línea horizontal y en la parte de arriba nuestra v que 17 x más 5 elevado a la n más 1 o sea un medio más 1 y en la parte de abajo también aparece n 1 así que también ponemos un medio + 1 y agregamos la constante de integración está siempre hay que agregar la después de que ya integramos ya cuando aplicamos la fórmula lo siguiente que vamos a hacer es la suma de un medio más uno para poner aquí el resultado en el exponente esa suma la vamos a hacer aparte un medio más un entero es lo mismo que un medio más dos medios para entender esto pues un entero está formado por dos mitades así que tenemos una mitad más dos mitades lo cual nos da en total tres mitades tres medios entonces ya en lugar de escribir un medio más uno vamos a escribir tres medios entonces pasamos en un séptimo escribimos el 7x más cinco y aquí ponemos tres medios y en la parte de abajo también tres medios porque también es un medio más uno y agregamos nuestra constante de integración ahora tenemos aquí una fracción en la que aparece abajo otra fracción y arriba una expresión siempre que dentro de una fracción tenemos otra fracción hay que aplicar regla de herradura para eso lo que vamos a hacer es a la parte de arriba que no es una fracción la vamos a convertir en fracción escribiendo 1 así y aquí ya podemos aplicar la regla de herradura lo que vamos a hacer es en primer lugar escribir un séptimo que hemos estado pasando en cada paso y ahora escribimos nuestra línea horizontal y multiplicamos lo que está hasta arriba por lo que queda hasta abajo 2 x 7 x + 5 a 3 medios nos va a quedar de esta forma 2 x 7 x + 5 a la 3 medios aquí no hay ninguna otra operación que hacer no podemos multiplicar el 2 por lo que está dentro porque lo que está adentro está elevado todavía a un exponente primero tendríamos que llevar a ese exponente para poder multiplicar por 2 pero podemos dejarlo así no es necesario hacer ninguna operación aquí ahora multiplicamos los dos números restantes sociales que están aquí en medio uno por tres nos queda tres y eso va en la parte de abajo de esta forma y agregamos nuestra constante bien lo que sigue ahora es multiplicar en un séptimo con esta fracción de aquí es lo que vamos a hacer a continuación entonces ponemos nuestra línea horizontal para escribir resultados en la parte de arriba tenemos 1 por 2 nos queda 2 y esta parte de aquí lo vamos a estar pasar nada más por lo que dije antes y luego multiplicamos los números de abajo 7 por 3 nos queda 21 y agregamos la constante aquí ya podríamos decir que terminamos la integral y el proceso algebraico pero esta parte que está elevada a un exponente fraccionario podríamos regresarlo a una raíz cuadrada recordemos que al inicio teníamos una raíz no un exponente fraccionario así que sería conveniente regresarlo otra vez a una raíz y lo que vamos a hacer es escribir nuestra nuestra línea horizontal el 2 y ahora esto está elevado a tres medios el número de abajo nos dice el tipo de raíz si es un 2 es una raíz cuadrada si hubiera sido un 3 sería una raíz cúbica o un 4 6 raíz cuarta y lo demás lo que queda 7 x + 5 y el 3 eso simplemente vamos a escribir tal cual de esta forma entonces nada más la parte de abajo es la que se convierte en una raíz todo lo demás queda escrito igual 7 x 5 y el 3 que estaba arriba de la fracción y en la parte de abajo tenemos el 21 así que nada más lo escribimos y agregamos nuestra constante estoy aquí es el resultado de nuestra integral ahora les propongo que ustedes realicen esta integral que también es una raíz cuadrada muy similar a la que acabamos de ver en el vídeo intenten hacerlo para que lo aprendan mejor para que practiquen un poco en el próximo vídeo les muestro el procedimiento si les gustó este vídeo de like y comenten si tienen cualquier duda o sugerencia todos los comentarios son bienvenidos no olviden suscribirse a mi canal para recibir más vídeos como éste