22. Raíz de i, cómo calcular la raíz cuadrada de un número complejo

hola y bienvenidos a otro vídeo de mate fácil en este vídeo vamos a ver cómo podemos calcular la raíz cuadrada de un número complejo y esto vamos a hacerlo resolviendo una ecuación esta es una manera de calcular una raíz cuadrada más adelante vamos a ver otras formas en las que podemos calcular raíces cuadradas e incluso otros tipos de raíces raíces públicas cuartas etcétera pero en este vídeo vamos a ver cómo podemos calcular una raíz cuadrada resolviendo una ecuación ya vimos en vídeos anteriores cómo resolver ciertas ecuaciones con números complejos en este caso lo que nosotros queremos hacer es expresar la raíz cuadrada de un número complejo x + y porque en la forma a más b por i es decir separar en su parte real y su parte imaginaria en particular lo que vamos a hacer en este vídeo es calcular la raíz cuadrada del número i pero este mismo método funciona para calcular la raíz cuadrada de cualquier otro número complejo entonces lo que vamos a hacer primero es recordar lo que es una raíz cuadrada por ejemplo la raíz cuadrada de 9 es igual a 3 porque si nosotros elevamos 3 al cuadrado eso nos da 9 entonces recordando esta definición de raíz cuadrada si nosotros tenemos que la raíz cuadrada de un número a es igual a b esto es así porque si elevamos b al cuadrado eso nos da como resultado a osea lo que está aquí adentro en nuestro caso lo que nosotros queremos hacer es encontrar el número complejo z tal que la raíz cuadrada de i sea igual a ese número se está y esto lo vamos a lograr encontrando el número complejo z que satisface que z al cuadrado es igual a y esta es la ecuación que tenemos que resolver entonces vamos a resolver la ecuación zeta cuadrada igual a iu y esto lo vamos a hacer siguiendo el método que hemos visto en los vídeos anteriores vamos a escribir z en su parte en su forma además b por i y vamos a realizar las operaciones e igualar parte real y parte imaginaria bueno entonces vamos a resolver esta ecuación para resolver esta ecuación vamos a escribir z como x + i porque no estamos escribiendo en su parte real y su parte imaginaria si hacemos esta sustitución aquí pues tenemos x + y porque al cuadrado iguala y desarrollamos este binomio al cuadrado y nos queda x al cuadrado más 12 x y x y menos llega al cuadrado recuerden que aquí al elevar y que al cuadrado pues va a ser cuadrada y cuadrada pero y cuadrada es menos 1 por eso nos queda menos uno porque cuadrada o sea menos que cuadrada y esto iguala y entonces tenemos aquí una ecuación ahora tenemos que igualar las partes reales el lado izquierdo con el lado derecho y la parte imaginaria del lado izquierdo con la parte imaginaria del lado derecho observamos que del lado izquierdo la parte real es x cuadrada menos ye cuadrada que es la que no tiene ninguna y del lado derecho la parte real es cero porque en realidad pues no hay ningún otro número aparte de la y ahora vamos a igualar las partes imaginarias esto es los coeficientes de la y entonces de lado 2x y del lado derecho es 1 así que ponemos que 2x ya tiene que ser igual a 1 de esta manera lo que obtenemos ahora es un sistema de dos ecuaciones con dos variables tenemos xy entonces simplemente hay que resolver este sistema y de esta manera vamos a obtener la parte real y la parte imaginaria del número z que estamos buscando y así vamos a tener la raíz cuadrada de y bueno vamos a resolver entonces este sistema para eso en la primera ecuación lo que podemos hacer es éste que cuadrada pasarlo al lado derecho sumando y ahora vamos a pasar este cuadrado como raíz cuadrada al lado derecho pero hay que recordar que cuando un cuadrado lo pasamos como raíz cuadrada hay que considerar dos raíces cuadradas la positiva y la negativa ahora bien la raíz cuadrada de cuadrada nos da que así que x tiene que ser igual a más o menos bueno ahí tenemos entonces una relación entre xy ahora vamos a considerar cada signo por separado si consideramos x igual h o sea que con el signo positivo al sustituir en esta otra ecuación tenemos lo siguiente como x es igual a sustituimos aquí en la ye la equis y al multiplicar por esta x pues nos queda 2x al cuadrado igual a 1 y de aquí ya podemos despejar rápidamente la x el 2 pasa dividiendo y luego el cuadrado pasa como raíz cuadrada y de nuevo hay que considerar dos signos entonces x puede ser igual a más o menos raíz cuadrada de un medio eso también lo podemos expresar como uno sobre raíz cuadrada de 2 recuerden que la raíz cuadrada de una fracción se puede separar como la raíz de lo de arriba sobre la raíz de lo de abajo y la raíz de 1 pues es 1 así que ya tenemos la parte real del número complejo o sea la x es más o menos uno sobre raíz cuadrada de 2 hemos obtenido dos posibles valores para x si multiplicamos arriba y abajo por la escuadra de 2 podemos racionalizar la fracción esto es opcional también podríamos haberlo dejado así y bueno pues al multiplicar por raíz cuadrada de 2 arriba y abajo pues nos queda uno por raíz de 2 raíz de 2 y abajo raíz de dos por raíz de 2 es raíz de 4 que es 2 entonces así queda la fracción racionalizada pero como x es igual a jr pues entonces también que tiene que ser igual a más o menos raíz cuadrada de 2 sobre 2 o sea el mismo valor en x 100 entonces obtenemos dos posibles números complejos que vamos a llamar z 1 y z 2 el valor de z 1 pues es si tomamos el signo positivo en la equis por lo cual teníamos que tomar también el signo positivo en el aire porque x es igual allí entonces el primer número complejo que obtenemos es raíz de 2 sobre 2 + raíz de 2 sobre 2 porque estamos sustituyendo en esta expresión la equis y la h entonces esta es una posible raíz cuadrada de y otra posible raíz cuadrada de y es z 2 que si tomamos el signo negativo aquí y aquí es menos raíz de 2 sobre dos menos raíz de 2 sobre 2 por estas entonces son las dos posibles raíces cuadradas de i si nosotros elevamos esto al cuadrado y simplificamos los términos tenemos que obtener como resultado y también en el caso de aquí abajo si elevamos al cuadrado desarrollamos el binomio y simplificamos lo que obtendremos como resultado es y por eso ambas son raíces cuadradas de y yo los invito a que ustedes comprueben eso que les estoy diciendo el event z 1 al cuadrado y verifiquen que el resultado es sí y también el event se todos sentados al cuadrado y verifiquen que el resultado es y bueno esto es recordemos cuando tomamos aquí el signo positivo x igual ay qué pasa si tomamos el signo negativo bueno pues si x es igual a menos 10 al sustituir aquí nos va a quedar ahora menos 2x cuadrada igual a 1 porque si x es igual a menos y es igual a menos x y al sustituir aquí pues multiplicamos 2x por menos equis y eso nos da menos 11 x cuadrada igual a 1 ahora el menos 2 pasa dividiendo y ahora aquí lo que tenemos es una ecuación que dice que x al cuadrado nos tiene que dar igual a un número negativo pero esto no es posible dentro de los números reales recuerden que en esta expresión x + y porque tanto la x como la ye son números reales a pesar de que z sea un número complejo z es un número complejo porque tiene por aquí la iv pero x por separado y por separado son números reales entonces aquí lo que tenemos es que el número real x al elevarlo al cuadrado nos tiene que dar algo negativo y eso es imposible dentro de los números reales fue lo que vimos en el primer vídeo de este curso por lo tanto esta ecuación no tiene solución entonces si tomamos el signo negativo aquí no hay soluciones por lo tanto estas dos son todas las soluciones posibles y así entonces hemos calculado ya las raíces cuadradas de i bueno regresemos a lo que explicaba hace un momento cuando nosotros queremos calcular la raíz cuadrada de un número por ejemplo en este caso raíz cuadrada de 9 decimos que es igual a 3 porque el 3 satisface que 3 al cuadrado nos da 9 pero hay otro número que también al cuadrado nos da 9 en este caso menos 3 menos 3 al cuadrado también es igual a 9 entonces por qué no decimos aquí que la raíz cuadrada de 9 es igual a menos 3 también aquí hay que tomar en cuenta que el símbolo de raíz cuadrada en los números reales únicamente hace referencia a la raíz cuadrada positiva cada número real tiene dos raíces una positiva y una negativa pero cuando nosotros utilizamos este símbolo únicamente nos referimos a la raíz positiva si queremos referirnos a la raíz negativa tenemos que agregarle el signo menos a la raíz de esta manera entonces menos raíz cuadrada de 9 haría referencia a el menos 3 la ecuación x cuadrada igual a 9 tiene dos soluciones x1 igual a 3 y x2 igual a menos 3 es decir el 9 tiene dos raíces cuadradas una positiva y una negativa si nosotros queremos referirnos al conjunto de las dos raíces cuadradas en el curso de variable compleja vamos a hacerlo mediante la siguiente anotación vamos a expresar lo con el exponente un medio cuando nosotros entonces tengamos 9 elevado a la un medio nos estaremos refiriendo al conjunto de raíces cuadradas de 9 que en este caso son el 3 y el menos 3 entonces lo que nosotros hemos calculado aquí son las dos raíces cuadradas de y eso lo vamos a expresar así y elevado a un medio es el conjunto de las dos raíces cuadradas de iu que son esta de aquí y esta de aquí y al igual que ocurre con este símbolo de raíz cuadrada lo vamos a reservar únicamente para la raíz cuadrada principal de un número complejo que en este caso resulta ser esta de aquí es decir la raíz cuadrada de y únicamente hará referencia a esta raíz de aquí y no a esta raíz de acá esto lo voy a explicar con más detalle en un vídeo más adelante porque para la raíz cuadrada principal de un número primero tenemos que definir lo que es el argumento de un número complejo y a partir de ahí el argumento principal de un número complejo y una raíz cuadrada estará relacionada con el argumento principal entonces todo esto son conceptos que vamos a ver más adelante y ahí van a entender porque vamos a reservar este símbolo únicamente para la raíz cuadrada principal que está relacionada con el argumento principal ahora los invito a que ustedes resuelvan la siguiente ecuación tenemos aquí el conjugado de zeta al cuadrado igual a 4 por zeta para resolver esta ecuación empiecen haciendo lo mismo escriban z igual a x más y porque sustituyan la ecuación igual en parte real y parte imaginaria y resuelvan el sistema que les resulte en el siguiente vídeo les voy a mostrar el procedimiento completo para que verifiquen su respuesta si te gustó este vídeo apóyame regalándome un like suscríbete a mi canal y comparte mis vídeos y recuerda que si tienes cualquier pregunta o sugerencia puedes dejarla en los comentarios